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Calcul matriciel

Posté par
fifou12 17-09-09 à 19:28

Soit A la matrice suivante :

1  -5  12
1  -1  1
0   1  -3

1) calculer (A+I(3))^3 et en déduire A^n.

Après avoir remaqué de AI=IA j'ai essayé de me servir de la formule du binôme !

Mais je ne vois aucune simplification possible !
Ainsi je me retrouve avec un I + 3A + 3A² + A^3 qui me paraît très long et fastidieux à développer pour un seul exercice de début de chapitre !
Surtout que je ne vois pas en quoi je pourrais en déduire A^n

Quelqu'un aurait-il une piste à me proposer ? ( Par avance je vous en remercie )

Posté par
raymond Correcteurre : Calcul matriciel 17-09-09 à 19:52

Bonjour.

Calcule effectivement (A+I)3, tu auras une agréable surprise.

Posté par
fifou12re : Calcul matriciel 17-09-09 à 19:57

en faisant du calcul trivial :

A + I, puis élevé au cube ?

Posté par
raymond Correcteurre : Calcul matriciel 17-09-09 à 20:04

Oui.

Posté par
fifou12re : Calcul matriciel 17-09-09 à 20:48

d'accord j'ai changé mes résultats ( erreurs de calcul ) et je tombe sur 0.

dois-je utiliser le binome pour trouver A^n ?

Posté par
raymond Correcteurre : Calcul matriciel 17-09-09 à 20:55

Oui, sachant qu'il faut "ruser" :

An = (A+I-I)n = (-1)n[I - (A+I)]n

Avec (A+I)3 = O

Posté par
fifou12re : Calcul matriciel 17-09-09 à 21:05

cela revient donc a dire que A^n = à la somme de la formule du binôme de newton de k=0 à 2 (apartir de 3 le résultat est nul) est-ce correct ?

Il me faut par suite finir l'exercice en posant A matrice d'un endomorphisme f de R^3 relativement à la base canonique. Quelles sont les valeurs propres possibles de f ?

Il me paraît non approprié ici de les calculer !
Je vois sortir de la question le polynome annulateur d'endomorphisme.

Comment pourrais-je le définir à partir de la question 1 ? je ne vois pas ...

Posté par
raymond Correcteurre : Calcul matriciel 17-09-09 à 21:16

Fais les calculs !

2$\textrm A^n = (-1)^n[I - (A+I)]^n = (-1)^n[I - \(n\\1\)(A+I) + \(n\\2\)(A+I)^2]

Puisque (A+I)3 = O, c'est tout.

Calcule les combinaisons.


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