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calcul, polynome, coefficients majorés

Posté par
flap1847 04-10-16 à 22:32

Bonsoir,

Je dispose de ce polynome, S= P(i) + \frac{1}{w^{l}} P(w)+ \frac{1}{w^{l}^{2}} P(w²)+...+\frac{1}{w^{l}^{n}}P(w^{n}).

Avec P(x)=\sum_{i=0}^{n}{} a_{i}x^{i}.

Du coup j'ai \sum_{i=0}^{n}{a_{i1^{i}}} + \frac{1}{w^{l}} \sum_{i=0}^{n}{a_{iw^{i}}}+ \frac{1}{w^{l}^{2}}\sum_{i=0}^{n}{a_{iw²^{i}}} +...+\frac{1}{w^{l}^{n}}\sum_{i=0}^{n}{a_{iw^{in}}}

Et je cherche à utiliser les signes produits et ou sommes pour simplifier cette derniere formule.

Du coup je dirais que ça donne cela, {\frac{1}{w^{li}}} \sum_{k=0}^{n}\sum_{i=0}^{n}{a_{i}w^{ki}}={\frac{1}{w^{li}}} \sum_{i=0}^{n}a_{i}\sum_{k=0}^{n}{w^{ki}}

Est ce possible de encore plus simplifier ? Peut on mettre un signe de produit ?

Merci de votre aide.

Posté par
ThierryPomare : calcul, polynome, coefficients majorés 05-10-16 à 08:14

Bonjour,

De mon boulot, rapidement :

A ta place, j'aurais pris

P(X)=\sum_{i=0}^{\red{m}}a_i\,X^i

Posté par
alainpaulre : calcul, polynome, coefficients majorés 05-10-16 à 09:19

Bonjour,

Je ne vois pas du tout à quoi correspond le polynôme S et comment joue l'indice i,


Alain

Posté par
flap1847re : calcul, polynome, coefficients majorés 05-10-16 à 09:21

Merci, P (x) m'est donné tel quel sur mon exercice...

Ce qui me gene  dans mon expression est que mon premier terme depend de i mais n'est pas dans la somme qui engendre les i... C'est normal ou pas?  Cdlt.

Posté par
DOMOREAre : calcul, polynome, coefficients majorés 05-10-16 à 10:13

bonjour,
Je pense que tu peux te relire
Il y a  une erreur dans ton utilisation de LaTex

A la 3ème ligne , ce sont j'imagine des a_{i}\omega ^{ki} et non pas des a_{i\omega ^{ki}}

A la première ligne , que représente ce qui me semble être un t dans \frac{1}{\omega ^{tk}} ?

De même , qu'est-ce P(i) à la première ligne ?

Posté par
DOMOREAre : calcul, polynome, coefficients majorés 05-10-16 à 10:18

re,
j'imagine que c'est P(1)=P(\omega^0) et non pas P(i)

Posté par
flap1847re : calcul, polynome, coefficients majorés 05-10-16 à 10:32

Oui alors pardon je n'avais pas vu en effet, j'ai du mal formuler mon texte sur l'editeur et P(i) est en fait P(1), faute de frappe je refait donc :

Mon polynome S est celui que je tente de reduire en l'ecrivant avec le signe somme et ou produit.

Du coup en remplacant la valeur P(x) dans S j'obtient :


S = \sum_{i=0}^{n}{a^{i}}1^{i} + \frac{1}{w^{l}} \sum_{i=0}^{n}{a^{i}}w^{i} + \frac{1}{(w^{l})^{2}}\sum_{i=0}^{n}{a^{i}}(w^{2})^{i} + ... + \frac{1}{(w^{l})^{n}} \sum_{i=0}^{n}{a^{i}}(w^{n} )^{i}

C'est ce  S que je veux reduire.

Posté par
flap1847re : calcul, polynome, coefficients majorés 05-10-16 à 10:33

Oui c'est ça domorea, je m'etais trompée, désolé

Posté par
flap1847re : calcul, polynome, coefficients majorés 05-10-16 à 10:39

Du coup j'ai essayé, et j'ai trouvé ceci :

\frac{1}{w^{lk}}\sum_{k=0}^{n}{\sum_{i=0}^{n}{a_{i}}w^{ki}} = \frac{1}{w^{lk}}\sum_{i=0}^{n}a_{i}{\sum_{k=0}^{n}{w^{ki}}}

Mais je ne sais pas si c'est vraiment correct car ce qui me gene c'est que le k de la fraction n'est pas dans une somme du coup est ce qu'il va évoluait lui aussi ?

Posté par
carpediemre : calcul, polynome, coefficients majorés 05-10-16 à 11:20

incompréhensible ...

qui est w ?
qui est i ? (qui apparait aussi dans l'indiçage)

Posté par
flap1847re : calcul, polynome, coefficients majorés 05-10-16 à 11:42

Pourtant mon énoncé est tel quel... w est une variable quelconque et i provient du polynome P(x) donné.
A la base P(x)=a_{0}+ a_{1}x+...+ a_{n}x^{n} \epsilon C[x] si ça permet de rendre plus compréhensible

Posté par
lionel52re : calcul, polynome, coefficients majorés 05-10-16 à 11:58

\omega est très certainement une racine (n+1)-ème de l'unité

Si je comprends bien

S = \sum_{k = 0}^n \frac{1}{w^{kl}} \sum_{i=0}^n a_i w^{ki}

Alors
S = \sum_{i = 0}^n \sum_{k=0}^n a_i w^{ki}\frac{1}{w^{kl}}
S = \sum_{i = 0}^n a_i \sum_{k=0}^n  w^{k(i-l)}

Si i \neq l alors

\sum_{k=0}^n  w^{k(i-l)} = \frac{1-w^{(i-l)(n+1)}}{1-w^{(i-l)}} = 0

Si i = l alors \sum_{k=0}^n  w^{k(l-l)} = n+1

Donc sauf erreur S = \frac{a_l}{n+1} si l \leq n et 0 sinon

Posté par
flap1847re : calcul, polynome, coefficients majorés 05-10-16 à 13:11

Merci pour ton aide, au final mon terme \frac{1}{(w^{l})^{k}} doit se placer à l'interieur de ma deuxieme somme je comprends mieux, ça parait plus logique que le mien Encore merci Lionel

Posté par
jsvdbre : calcul, polynome, coefficients majorés 05-10-16 à 14:02

Dans ce cas, il vaut mieux présenter les choses de la façon suivante :

Je dispose de ce polynôme complexe P défini par P(z)=\sum_{i=0}^{n}{} a_i.z^i

Soit w une racine n-ième de l'unité.

Soit S_w = P(0) + \dfrac{1}{w^{l}} P(w)+ \dfrac{1}{w^{2l}} P(w²)+...+\dfrac{1}{w^{(n-1)l}}P(w^{n-1}) = \sum_{k = 0}^{n-1} \frac{1}{w^{kl}} \sum_{i=0}^n a_i w^{ki} .

(Car S_w n'est pas un polynôme)

Posté par
flap1847re : calcul, polynome, coefficients majorés 05-10-16 à 18:04

Okok merci

Posté par
carpediemre : calcul, polynome, coefficients majorés 05-10-16 à 18:54

comme je le disais pas clair ....


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