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Niveau troisième
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Carré de Sierpinski

Posté par
Fils
19-02-08 à 19:18

Bonjour ,Je dois faire un exercice avec les Carrés de Sierpinski et je ne comprend pas comment trouver mes réponses. J'ai lu sur internet qu'il s'agissait de partager les carrés en 9 parties pour former une nouvelle étapes.

Voici ce que l'on me demande:

Combien compte-t-on de carres à l'étapes 4 ?
A l'étape 5 ?
Faire une expression qui permette de calculer le nombre de carrées blanc a l'étape 15.



J'ai essayé de trouver la réponse pour l'étapes 4 et 5 mais je doute que cela soit juste...

Sachant qu'il y a 73 carrés blanc à l'étapes 3,

Etape 4 :
73+(16*9)= 217

Etape 5:
217+(24*9)=433


Voilà, j'espère que vous pourrez m'aider.
Merci d'avance.

Carré de Sierpinski

Posté par
padawan
re : Carré de Sierpinski 19-02-08 à 19:54

Bonsoir,
étape 1: U1 = 1 carré
étape 2: U2 = 8 +1 = 9 carrés.
étape 3: U3 = 8*8 + 9 = 73 carrés.   [* = multiplié]
étape 4: U4 = 8*(nombre de petits carrés de l'étape 3) + (nombre de gros carrés de l'étape 3) = 8*(U3-U2) + U3 = 9*U3 -8*U2 = 9*73 -8*9 = 585 carrés.
étape 5: U5 = 9*U4 -8*U3 = 9*585 -8*73 = 4681 carrés.
...
étape 15: U15 = 9*U14 -8*U13 = 5 026 338 871 003.

Voilà,
padawan.

Posté par
Fils
re : Carré de Sierpinski 19-02-08 à 20:02

Merci, mais je suis désolé , je n'ai pas compris grand choses , surtout à partir de l'étape 4.

Posté par
Fils
re : Carré de Sierpinski 19-02-08 à 20:08

Cela revient au même si je fais :

De l'étape 2 à 3 :

9*8+1=73


De l'étape 3 à 4:

73*8+1=585


De l'étape 4 à 5:

585*8+1=4681


Mais en ce qui concerne l'étape 15 je ne vois pas comment faire, même avec votre réponse...

Posté par
padawan
re : Carré de Sierpinski 19-02-08 à 20:18

Ca revient au même oui.
Pour l'étape 15, on ne demande qu'une expression permettant de calculer le nombre de carrés.
Le nombre de carrés de l'étape 15 est 8 fois le nombre de carrés de l'étape 14 +1.

Posté par
Fils
re : Carré de Sierpinski 19-02-08 à 20:21

Oui voilà pour l'étape 15 c'est bien ce que j'avais noté sur mon brouillon, mais je n'étais pas sûr.
Merci pour votre aide.
A bientôt.

Posté par
camillem
Carré de Sierpinski 19-02-08 à 20:23

Bonsoir,

ce problème à été posé sur ce site par maths01  posté le 06/01/2008 à 13:24
reponse donnée: par : plumemeteore
bonsoir
à chaque étape, on ajoute une puissance de 8
étape 1 : 1 ( 8^0 )
étape 2 : 8 (total 9)
étape 3 : 64 (total 64)
à l'étape 15, on a 8^0+8^1+8²+8³+...+8^14(le plus grand exposant est le numéro de l'étape -1)
en multipliant cette expression par 8-1 (8^n\times8 = 8^n^+^1) :
8^15+...+8^4+8³+8²+8^1 -8^14-...-8³-8²-8^1-8^0, on constate que dans ce produit, chaque puissance de 8 est reprise une fois en positif et une fois en négatif et s'annulent deux à deux
deux exceptions : la plus grande puissance, 8^15, qui est en positif, et la plus petite 8^0, égal à 1 en négatif
le produit est donc \frac{8^15-1}{7}

en généralisant : à l'étape n, on a \frac{[tex]8^n-1}{7}[/tex]

Posté par
camillem
Carré de Sierpinski 19-02-08 à 20:29

Re
de l'étape 1 à l'étape 2, on multipile le nombre de ronds par 8 et on ajoute 1 à ce résultat (1\times8+1)=9
de l'étape 2 à 3, on fait pareil (9\times8+1)=73
Donc de l'étape 3 à la 4ème, on a (73\times8+1)=585
Donc de l'étape 4 à la 5ème, on a (585\times8+1)=4681

A+
Camille

Posté par
juju_du_74
re : Carré de Sierpinski 19-02-09 à 09:21

merci merci merci!!!

Posté par
camillem
re : Carré de Sierpinski 19-02-09 à 11:11

4$\rm de rien\\Un remerciement un an apre^,s jour pour jour\\e^,tonnant non?

Posté par
Tiitexsnoopy
re : Carré de Sierpinski 20-02-10 à 19:44

ESQUE cet exercice est juste svp je suis entrin de le faire et j'ai un soucis pour la réponse avec étape 15 ???

Posté par
bbjakie
Carré de sierpinski 12-03-10 à 17:53

Bonjour,

Je n'ai pas très compris l'étape 15 de cet exercice Mais j'ai compris l'étape n° 4 & 5  
Pouvez-vous m'expliquez sil vous plait ? Merci !

Posté par
Phil_B
tout faux... 07-06-10 à 16:39

on à:
étape 1 =1

étape 2= 1+8

étape 3= (1+8)+ (8x8)
d'accord non!!
soit 9+64=73
ou 9+(1+8)2

soit
à partir de l'étape 3 de la fractale
on à la formule générale:

nbre à l'étape =  (1+8)+8(N°de l'étape-1)

soit à l'étape 3  =  9+ 8² =73
à l'étape 4= 9+ 8(4-1)= 9+83=521 et non pas 585!!!

Posté par
sephdar
re : Carré de Sierpinski 07-06-10 à 18:37

bonjour,
pas d'accord avec toi,  Phil_B, tu écris:

Citation :
nbre à l'étape =  (1+8)+8(N°de l'étape-1)
cette formule est fausse

étape 1 : N1 = 1 = 80

étape 2 : N2 = 1 + 8 = 80 + 81

étape 3 : N3 = 1 + 8 + 8 x 8 = 80 + 81 + 82

..... étape 4 on trouve bien 585

Posté par
totom
re : Carré de Sierpinski 09-01-11 à 11:58

J'ai éxactement le méme exercice mais je n'ai pas trouver les méme expressions j'ai mis : a-b fois 8 +b

Posté par
sephdar
re : Carré de Sierpinski 09-01-11 à 12:07

bonjour,

qu'est-ce que c'est que a ? b ?

Posté par
Lolotte6
c'est simple mais compliqué 03-04-12 à 08:09

Salut! moi je suis en 4ème je n'ai pas a faire cet exercice mais je le fais quand meme bref j'ai trouvé.

Attention: l'exercice est faux.
a l'etape 1 (que vous appellez -1), il y a 0 carré.

Donc ça donne:
Etape 1: 0
Etape 2: (0x8)+ 1 = 0+1 = 1
Etape 3: (1x8)+ 1 = 8+1 = 9
Etape 4: (9x8)+ 1 = 72+1= 73
Etape 5: (73x8)+ 1 = 584+1 = 585

Donc la formule est : (N x 8) + 1
Le problème, c'est que N = nombre précédent.
Donc il faut à chaque fois calculer le nombre précédent pour aller à l'étape suivante.

Comment faire pour aller directement d'une étape à plusieurs plus loin?
Merci.

Posté par
Lolotte6
exercice faux 03-04-12 à 08:14

quand je dis l'exercice est faux je parle de votre énoncé pas de mon résultat

Posté par
Priam
re : Carré de Sierpinski 03-04-12 à 10:23

Comme l'a montré padawan (au début) dans son étape 4, on a   U4 - U3 = 8(U3 - U2) .
Il en va de même à chaque rang, et on peut écrire   Un - Un-1 = 8(Un-1 - Un-2)) .
A partir de cette égalité, on peut établir une formule donnant le nombre de carrés à toute étape de rang  n .

Posté par
Lolotte6
mais oui c'est si simple! 03-04-12 à 16:59

mais oui!j'était en cours, en maths. mais on parlais pas de ça de toutes façons ma classe est tellement bete que la prof narrivera jamais a leur expliquert!

Bref j'etait en train d'expliquer l'histoir du x8+1 a la personne a coté de moi (qui na evidemment rien compris), et la je me dit: ah! c'est simple.
et j'ai compris. j'ai compris comment faire!
vous ne mavez pas donné la réponse mais vous mavez aidé a réfléchir.

merci a vous!

Posté par
elevedu81
carré de Sierpinski 28-02-13 à 11:48

merci, grâce à ce site, j'ai pu répondre aux questions posées par mon professeur de maths et j'ai même tout compris ^^
et si jamais quelqu'un ne comprend pas encore, j'espère pouvoir l'aider :
mettons que le nombre de carrés dans l'étape 1 = C1
de même que le nombre de carrés dans l'étape 2 = C2
de même que le nombre de carrés dans l'étape 3 = C3 etc...
*=multiplié
n'oublions pas que la multiplication est prioritaire sur l'addition

C2=C1*8+1
C2=1*8+1
C2=8+1
C2=9

C3=C2*8+1
C3=9*8+1
C3=72+1
C3=73

C4=C3*8+1
C4=73*8+1
C4=584+1
C4=585

C5=C4*8+1
C5=585*8+1
C5=4680+1
C5=4681

etc...

pour trouver une expression qui permette de calculer l'étape 15 ( ou tout autre étape, il suffira de changer le nombre après le C ) il suffit de faire :

mettons que le nombres de carrés dans l'étape 14 = C14
de même que le nombre de carrés dans l'étape 15 = C15

C15=C14*8+1

et voilà j'espère que vous comprendrez bonne chance !!!!!!!!!

Posté par
scoutdefrance
dur dur !!! 06-01-14 à 20:21

c'est vrais que c dur mais si on réfléchie on arrive a comprendre  

Posté par
fenetre
re : Carré de Sierpinski 03-05-15 à 12:09

La réponse est :
On nomme N le nombre de carrés blancs
Etape 1: N= 8'0  ['= puissance]
étape 2 : N= 8'0+8'1 (N de l'étape précédente + 8'1)
3 : N = 8'0+8'1+8'2 ( "  "    "         "     +8'2)
4: N = 8'0+8'1+8'2+8'3 ("     "     "    "    +8'3)
5 : N = 8'0+8'1+8'2+8'3+8'4 ( "    "    "   " +8'4)
         . . .
15: N = 8'0+8'1+8'2+8'3+8'4+8'5+8'6+8'7+8'8+8'9+8'10+8'11+8'12+8'13+8'14

Et voilà ! Je suis en 4e  et je devais le faire pour un DM j'espère que c'est assez clair et que vous comprendrez tout !
😁

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