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Cercle d Euler

Posté par Livia (invité) 30-12-04 à 17:57

Bonjour!!

J'ai un problème de maths à résoudre pour la rentrée et il y a quelques points sur lesquels je butte.
Voilà l'énoncé:

Le Cercle des neuf points d'un triangle

Soient un triangle ABC, H son orthocentre et O le centre de son cercle circonscrit. On note A', B', et C' les milieux des côtés [BC], [AC] et [AB]. On note P, Q, R les milieux respectifs des segments [AH], [BH] et [CH].
Le point H défini par OH= OB+OB+OC est l'orthocentre du triangle.
Soit ? le milieu du segment [OH].
a. Montrer que ?P= 1/2 OA

b. Exprimer OB+OC en fonction de OA'. Ecrire alors une relation liant OH, OA et OA'. En déduire que: ?P=-?A'

c. Etablir quatre égalités analogues concernant les points Q, R, B, C B' et C'.

d. Soit G le cercle de centre ? et de rayon R/2, où R est le rayn du cercle circonsrit au triangle ABC. Montrer que P, Q, R, A', B' er C' appartiennent à G.

e. On note A1 B1 et C1 les pieds des hauteurs du triangle ABC. En considérant le triangle PA1A', montrer que A1 appartient à G. Montrer de même que B1 et C1 appartiennent à G


Voila, je butte à la question B et ceci m'empêche de continuer...
Merci de m'apporter au plus vite votre aide qui me sera précieuse...

Posté par Livia (invité)re : Cercle d Euler 30-12-04 à 18:20

oups!!!!
les oméga buguent....remplacez les donc par Z....

J'ai parcouru le forum et les réponses à d'autres topics m'ont aidé à avancer
...j'en suis à la question c!!!!!:p

Posté par vNISTELROOY (invité)re : Cercle d Euler 31-12-04 à 15:13

Salut!
b. OB+OC=OA'+A'B+OA'+A'C
OB+OC=2OA'+A'B+A'C
or A' milieux de [BC] donc barycentre de (B,1) (C,1) et donc A'B+A'C=0
d'où OB+OC=2OA'

et donc OH=OA+OB+OC
OH=OA+2OA'

et après j'arive pas a faire la suite! désolé mais file moi ton n° de tél fixe et je t'appelerai pour qu'on le fasse ensemble
JULIEN

Posté par
muriel Correcteur
re : Cercle d Euler 31-12-04 à 16:58

bonjour ,
voici tout ce qu'on a après le a:
_A' milieu de [BC], ce qui se traduit par:
\vec{A'B}+\vec{A'C}=\vec{0}
_B' milieu de [AC], ce qui se traduit par:
\vec{B'A}+\vec{B'C}=\vec{0}
_C' milieu de [AB], ce qui se traduit par:
\vec{C'A}+\vec{C'B}=\vec{0}
_P milieu de [AH], ce qui se traduit par:
\vec{PA}+\vec{PH}=\vec{0}
_Q milieu de [BH], ce qui se traduit par:
\vec{QB}+\vec{QH}=\vec{0}
_R milieu de [CH], ce qui se traduit par:
\vec{RC}+\vec{RH}=\vec{0}
_\vec{OH}=\vec{OA}+\vec {OB}+\vec{OC}
_\Omega milieu de [OH], ce qui se traduit par:
\vec{\Omega O}+\vec{\Omega H}=\vec{0}
_\vec{\Omega P}=\frac{1}{2}\vec{OA}

je reprends le b,
Exprimer OB+OC en fonction de OA'
je pense qu'il n'y a pas eu de soucis:
A' est le milieu de [BC], donc en terme de vecteur:
\vec{A'B}+\vec{A'C}=\vec{0}
en introduisant le point O, on a bien:
\vec{OB}+\vec{OC}=2\vec{OA'}

Ecrire alors une relation liant OH, OA et OA'
on a:
\vec{OH}=\vec{OA}+\vec {OB}+\vec{OC}
\vec{OB}+\vec{OC}=2\vec{OA'}

donc
\vec{OH}=\vec{OA}+2\vec {OA'}

En déduire que: ?P=-?A'
on a:
\vec{OH}=\vec{OA}+2\vec {OA'}
le P qui intervient ici:
\vec{PA}+\vec{PH}=\vec{0}
et le \Omega qui intervient ici:
\vec{\Omega O}+\vec{\Omega H}=\vec{0}

on part de \vec{OH}=\vec{OA}+2\vec {OA'}
et introduisons le P:
\vec{OP}+\vec{PH}=\vec{OP}+\vec{PA}+2(\vec {OP}+\vec{PA'})
\vec{PH}=\vec{PA}+2\vec {OP}+2\vec{PA'}

d'autre part, \vec{PA}+\vec{PH}=\vec{0}
donc
\vec{PH}=-\vec{PH}+2\vec {OP}+2\vec{PA'}
pourquoi privilégier H? car \Omega est le milieu de[OH]

-\vec{PH}+\vec {OP}+\vec{PA'}=\vec{0}
\vec{HP}+\vec {OP}+\vec{PA'}=\vec{0}

maintenant, tu sais que \vec{\Omega O}+\vec{\Omega H}=\vec{0}
c'est à dire:
\vec{PO}+\vec{PH}=2\vec{P\Omega}

donc
\vec{HP}+\vec {OP}+\vec{PA'}=\vec{0}
-2\vec{P\Omega}+\vec{PA'}=\vec{0}
-2\vec{P\Omega}+\vec{P\Omega}+\vec{\Omega A'}=\vec{0}
-\vec{P\Omega}+\vec{\Omega A'}=\vec{0}

voici la solution

pour le reste, cela arrive

Posté par
muriel Correcteur
re : Cercle d Euler 31-12-04 à 17:14

c.
même raisonnement que le b, on a alors:
\vec{\Omega P}=-\vec{\Omega A'}
\vec{\Omega Q}=-\vec{\Omega B'}
\vec{\Omega R}=-\vec{\Omega C'}
\vec{\Omega P}=\frac{1}{2}\vec{OA}
\vec{\Omega Q}=\frac{1}{2}\vec{OB}
\vec{\Omega R}=\frac{1}{2}\vec{OC}



d.
ici, il te suffit de montrer que
\begin{array}{ccc}\Omega P&=&\Omega Q\\\;&=&\Omega R\\\;&=&\Omega A'\\\;&=&\Omega B'\\\;&=&\Omega C'\\\;&=&R/2\end{array}

e.
tu as tout ce qui faut pour y arriver:
A_1PA' est un triangle rectangle en A_1
donc il te suffite de vérifier que \Omega est milieu de [PA']
et ceci tu l'as fait en disant que: \vec{\Omega P}=-\vec{\Omega A'}
donc tu as bien:
\begin{array}{ccc}\Omega A_1&=&\Omega P\\\;&=&\Omega A'\\\;&=&\frac{R}{2}\\\end{array}

voilà

Posté par vNISTELROOY (invité)re : Cercle d Euler 31-12-04 à 17:15

merci beaucoup Muriel c'est super ça paraît simple quand on le voit fait!!! LOL

Posté par
muriel Correcteur
re : Cercle d Euler 31-12-04 à 17:17

le problème, c'est qu'il faut réfléchir avant de ce jeter tête baissée dans les calculs

Posté par Livia (invité)re : Cercle d Euler 01-01-05 à 10:42

Merci beaucoup!!!!!!
Vraiment plein de mercis!!!!!!!!!LOL!!!!

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