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Challenge n°122**

Posté par
puisea Posteur d'énigmes 24-10-05 à 12:33

Bonjour, nouvelle énigme

Soit E la fonction partie entière, alors pour tout x réel fixé, on a :

5$u_n=\frac{E(x)+E(2x)+...+E(nx)}{n^2}

Quelle est la limite de cette suite ?

Bonne Chance à tous
étant donné cette période de vacances, cela me permet de vous gâter

Posté par
piepalmre : Challenge n°122** 24-10-05 à 13:01

gagné La suite Vn=(x+2x+...+nx)/n^2= x(n+1)/2n tend vers x/2 quand n tend vers l'infini.
Par ailleurs Vn-Un=((x-E(x)+...+(nx-E(nx))/n^2 et comme pour tout y, 0<=y-E(y)<1
0<=Vn-Un<1/n donc Un a même limite que Vn
Un tend vers x/2

Posté par goupi1 (invité)Rép CHALLENGE 122 24-10-05 à 13:03

gagnéx/2

Posté par
Nofutur2re : Challenge n°122** 24-10-05 à 13:16

gagnéComme E(px)<px, on a :
un < 1/n2 *(x+2x+3x …+nx)
Un < x/2 (n2+n)/n2
De plus E(px) >(px-1)
un > [(x-1)+(2x-1)+(3x-1)….+(nx-1)]/n2
un> [x/2 (n2+n)/n2] -n/n2 = x/2 (n2+n)/n2-1/n
Donc :
[x/2 (n2+n)/n2]-1/n <un< x/2 (n2+n)/n2
La limite de la suite un est donc x/2.

Posté par olive (invité)re : Challenge n°122** 24-10-05 à 14:15

je dirai que la limite quand n tend vers +l'infini de Un(x) est x/2 quel que soit x réel fixé

Posté par philoux (invité)re : Challenge n°122** 24-10-05 à 14:38

gagnéBonjour,

C'est la fête !

Réponse proposée : un(x)=x/2 mais sans être capable de le démontrer

Uniquement en visualisant la courbe jusqu'à n=20

Question : est-ce qu'avec np au dénominateur on aurait x/p ?

Philoux

Posté par zackary0 (invité)re : Challenge n°122** 24-10-05 à 14:38

gagnéLa limite de la suite 5$u_n=\frac{E(x)+E(2x)+...+E(nx)}{n^2} est la suivante :

En utilisant les convergeances et ... ;
Il faut encadrer le numérateur :
-Si 5$x=0,5$u_n=0, donc 5$(u_n)_n converge et converge vers 5$0.

-Si 5$x>0, on a pour tout 5$k\ge 1,kx-1\le E(kx)\le kx.
On en déduis en sommant terme a terme que : 5$x\frac{ n(n+1) }{ 2 } - n \leq E(x) + E(2x) + ... + E(nx) \leq x \frac{ n(n+1) }{ 2 }


On obtient ainsi un encadrement de 5$u_n, On doit maintenant prouver la convergence et trouver la limite :
On démontre que 5$x-1<E(x)\Longleftarrow x avec 5$x dans 5$IR.

D'où 5$kx-1<E(kx)\Longleftarrow kx

D'où 5$\sum (kx-1,k=1..n)<\sum (E(kx),k=1..n)\Longleftarrow \sum (kx,k=1..n)

D'où 5$x\times (\sum (k,k=1..n))-n<(n^2)\times (u(_n))\Longleftarrow x\times (\sum (k,k=1..n))

D'où 5$x\times (n\times (n+1)/2)-n<(n^2)\times (u(_n))\Longleftarrow \frac{x\times (n\times (n+1))}{2}

D'où 5$\frac{x\times (n\times (n+1)}{((2))-\frac{-n}{n^2}}<(u(_n))\Longleftarrow \frac{x\times (n\times (n+1)}{\frac{((2))}{(n^2)}}

Par un théorème des gendarmes, on déduit que 5$lim(u(n))5$\green =\frac{x}{2}

_______________________________________________________________________________

Ou on peut trouver la limite par une autre méthode "l'égalité évidente" :
5$[t]=t+O(1), où  5$[t] désigne la partie entière du réel 5$t. Ainsi :

5$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} [kx] = x \sum_{k=1}^{n} k + O(n) = \frac {xn(n+1)}{2} + O(n)

Puis : 5$\displaystyle \frac {1}{n^2} \sum_{k=1}^{n} [kx] = \frac {xn(n+1)}{2n^2} + O \left ( \frac {1}{n} \right (\frac {1}{n}).

On en déduit immédiatement que : 5$\displaystyle \lim_{n \longrightarrow \infty} \left ( \frac {1}{n^2} \sum_{k=1}^{n} [kx] \right \(\displaystyle \frac {1}{n^2} \sum_{k=1}^{n} [kx]\)5$\green =\frac {x}{2}

_______________________________________________________________________________

Conclusion : dans les deux cas, le résultat trouvé est : 5$\red\fbox{\frac{x}{2}}.

Posté par
borneore : Challenge n°122** 24-10-05 à 15:41

gagnéLa limite est x/2

je ne sais plus ce qu'est une suite... alors je l'ai fait avec excel, suffit de recopier vers le bas assez loin et de faire varier x.

merci pour l'énigme.
Ma fille qui est en prépa devait m'expliquer les suites, mais elle est partie boire un pot en ville

Posté par sof (invité)re : Challenge n°122** 24-10-05 à 15:42

LA suite tend vers x/2
c'est mon père qui le pense (prof de maths)

Posté par
manpowerre : Challenge n°122** 24-10-05 à 16:30

gagnéBonjour,

En partant de l'encadrement x\leE(x)<x+1 (x réel), on a pour tout entier k compris entre 1 et n, kx\leE(kx)<kx+1.
D'où par sommation de 1 à n et division par n², \frac{1}{n^2}\bigsum_{k=1}^n kx\le U_n<\frac{1}{n^2}(\bigsum_{k=1}^n {kx+1}).
Donc \frac{1}{n^2}\frac{n(n+1)}{2}x\le U_n<\frac{1}{n^2}(\frac{n(n+1)}{2}x+n)
soit, pour x fixé et pour tout entier n\ge1, |U_n-\frac{x}{2}|<\frac{x+2}{2}\times\frac{1}{n}.

Ainsi, par définition, \lim_{n\to +\infty} U_n=\frac{x}{2}.

Conclusion: La limite de cette suite vaut 4$ \red \frac{x}{2}.

Merci pour cet exercice... oops cette énigme !

Posté par jams (invité)re : Challenge n°122** 24-10-05 à 20:38

gagnéJe pense que je vais prendre un gros poisson mais je me risque quand même !
Je dirais lim Un = x/2

Posté par levrainico (invité)re: Challenge n°122 24-10-05 à 21:34

gagnébonjour,
j'encadre la suite Un par deux suites

[(x-1)+(2x-1)+...+(nx-1)]/n² < Un < [(x)+(2x)+...+(nx)]/n²

les deux suites tendent vers x/2

donc   Un ---> x/2
              n->

Posté par astroximinus (invité)re : Challenge n°122** 24-10-05 à 22:20

gagnéSalut,

   Je trouve par encadrement que la limite de Un est de x/2 . Merci pour l'énigme.

Posté par
jugore : Challenge n°122** 24-10-05 à 23:03

gagnéJe ne suis pas du tout sûr de moi, mais de manière intuitive, pour n assez grand, j'aurais tendance à assimiler cette suite à x.n(n+1)/2 /n².
i.e. j'assimile E(nx) à nx en estimant que nx-E(nx), divisé par n² devient négligeable.

Ca nous donnerait donc x.(1/2+1/n) qui pour a pour limite x/2.

Quelque chose me dérange là-dedans, mais je tente le poisson (ou le smiley, ne soyons pas défaitistes) quand-même.

Réponse : x/2

De toute façon, je n'ai absolument aucune idée de la façon dont on manipule ces parties entières.
Quand je vois le nombre de réponses, je crois que je vais pouvoir prendre une leçon dans ce domaine.

Posté par manu44 (invité)théorème des gendarmes 25-10-05 à 00:18

gagnéSachant que par définition : x-1 < E(x) <= x
on obtient directement :

(x-1) + (2x-1) + ... + (nx-1) < E(x) + E(2x) + ... + E(nx) <= x + 2x + ... + nx

Ce qui se simplifie en :

xn(n+1)/2n2 - 1/n < U(n) <= xn(n+1)/2n2

U(n) est encadré par deux suites qui convergent toutes deux vers x/2.

U(n) est donc convergente de limite x/2 (CQFD).

Posté par
jacques1313re : Challenge n°122** 25-10-05 à 07:07

gagnéOn a x\leq \textrm{E}(x) < x+1.

Donc x \frac{n (n+1)}{2 n^{2}} \leq \frac{\textrm{E}(x)+...+\textrm{E}(n x)}{n^{2}}<x \frac{n (n+1)}{2 n^{2}}+\frac{n}{n^{2}} \Longleftrightarrow\frac{x}{2} \(1+\frac{1}{n}\) \leq U_{n}< \frac{x}{2} \(1+\frac{1}{n}\) + \frac{1}{n}.
Donc (“théorème des gendarmes”) \lim_{n\to\infty} U_{n}=\frac{x}{2}.

Posté par kitoune (invité)re : Challenge n°122** 25-10-05 à 11:35

gagnéje pense que la réponse est x/2

Posté par kyrandia (invité)re : Challenge n°122** 26-10-05 à 09:49

gagnéBonjour,

la limite de cette suite vaut x/2

Posté par
lyonnaisre : Challenge n°122** 26-10-05 à 12:06

perdusalut puisea :

Pour moi il y a 3 cas à distinguer :

1er cas :

x \in ]-\infty;0[  \Rightarrow \lim_{n\to +\infty} u_n = -\infty

2eme cas :

x = 0  \Rightarrow \lim_{n\to +\infty} u_n = 0

3eme cas :

x \in ]0;+\infty[  \Rightarrow \lim_{n\to +\infty} u_n = +\infty

sauf erreur ...

merci pour l'énigme
romain

Posté par mannos24 (invité)re : Challenge n°122** 26-10-05 à 18:44

perdu limites = 0+

Posté par
masterfab2re : Challenge n°122** 27-10-05 à 11:28

perdula limite est E(x)/2

Posté par draluom (invité)re : Challenge n°122** 27-10-05 à 16:30

perdula limite de cette suite est 4$\frac{1}{2}

Posté par Babou14 (invité)re : Challenge n°122** 27-10-05 à 23:36

lim (un)=x/2

Posté par
doc_78re : Challenge n°122** 28-10-05 à 01:26

perduBonjour,
Je propose sans conviction 1/2 E(x)....
Alors, ?

Posté par hervé (invité)suite 28-10-05 à 01:49

perduLa limite de cette suite me semble être (E(x)+1)/2.

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Challenge n°122** 28-10-05 à 09:54

Merci à tous de votre participation à cette énigme.

Posté par riwane (invité)re : Challenge n°122** 28-10-05 à 09:58

x/2

Posté par
lyonnaisre : Challenge n°122** 28-10-05 à 10:35

perdu , ça c'est du retour gagnant sur les énigmes !

Merci puisea, au moin j'ai compris les réponses des autres intervenants ...

romain

Posté par levrainico (invité)re : Challenge n°122 28-10-05 à 14:44

gagnéBIEN(re)VENUE Lyonnais

Posté par
borneore : Challenge n°122** 28-10-05 à 17:52

gagnéYes... welcome back, Lyonnais.

Posté par zackary0 (invité)re : Challenge n°122** 28-10-05 à 18:06

gagnéJ'ai juste, cool !

"Hello lyonnais, and welcome among us and good stay, moreover than I wish you a good stay on the island of mathematics.  Remain longest here, that disturbs anybody, I laugh...".

Posté par zackary0 (invité)re : Challenge n°122** 28-10-05 à 18:06

gagnéBienvenue tout simplement

Posté par zackary0 (invité)re : Challenge n°122** 28-10-05 à 18:12

gagnéj'ai durer 1H pour faire ça à cause de l'écriture bizzaroïde du LaTeX!

Posté par
lyonnaisre : Challenge n°122** 29-10-05 à 11:10

perduMerci à tous

On peut dire que c'est un retour triomphale avec à la clé un jolie poisson.

romain

Challenge (énigme mathématique) terminé .
Nombre de participations : 0
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Temps de réponse moyen : 27:18:58.

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