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Challenge n°180 : nombres premiers**

Posté par
puisea Posteur d'énigmes
09-05-06 à 07:54

Bonjour, nouvelle énigme :

425 et 737 sont premiers entre eux et sont tous les deux la combinaison linéaire de  deux autres nombres eux aussi premiers entre eux. Quels sont ces deux autres nombres ? S'il y a plusieurs couples de solutions, donnez les tous.

PS : le couple (a,b) est considéré comme identique au couple (b,a).

Bonne chance à tous !

Posté par
Youpi
re : Challenge n°180 : nombres premiers** 09-05-06 à 10:01

j'ai bien peur qu'il y ait une ambiguïté dans l'énoncé, particuliérement en ce qui concerne le sens des termes "combinaison linéaire"
Lorsque l'on parles de combinaison linéaire en algèbre, les coefficients sont généralement pris dans un corps commutatif (même si ce n'est pas systématique)

en effet pour moi si un nombre entier x est combinaison linéaire de deux nombres entiers a et b alors il existe deux réels 3$ \lambda_1 et 3$ \lambda_2 tels que 3$ x=\lambda_1a+\lambda_2b

rien n'impose dans l'énoncé que ces coefficients soient des entiers. il manque donc à mon avis une précision sur ce point.

si l'on considère cette défintion alors tout couple (a,b) avec a et b premier entre eux est solution du problème.
Il y a donc une infinité de solution

PS1: j'ai du passer à côté d'une subtilité pour cette énigme mais je n'ai pas d'autre idée donc tant-pis pour le poisson !

PS2: a noter que si l'on choisi les coefficients dans * il y a un nombre fini de solution mais qui reste tout de même conséquent, donc il me parait difficile de tous les citer

Posté par
chaudrack
Nombre premiers entre eux? 09-05-06 à 13:58

Bonjour!

Si j'ai bien compris l'énoncé, et si une combinaison linéaire de 123 est 321 (par ex), et si 2 nombres a et b sont premiers entre eux si la fraction a/b est insimplifiable, alors ma réponse se trouvent en 17 couples solutions:

(425;773)
(425;377)

(452;737)
(452;773)
(452;377)

(254;737)
(254;773)
(254;377)

(245;737)
(245;773)
(245;377)

(542;737)
(542;773)
(542;377)

(524;737)
(524;773)
(524;377)

Mais bon, je ne suis pas sur d'avoir tout bien compris!
Et Bizzare aussi, toutes les combinaisons conviennent, même pas de piège!
Alors prions pour le smiley

A bientôt

Posté par
caylus
re : Challenge n°180 : nombres premiers** 09-05-06 à 14:56

Bonjour,

Sauf erreur de programmation, j'ai trouvé \fbox{25} paires.
{ 2, 3}
{ 3, 4}={ 4, 3}
{ 5, 3}
{ 6, 5}
{ 7, 3}
{ 8, 3}
{ 9, 4}
{ 10, 3}
{ 11, 3}
{ 12, 5}
{ 13, 3}
{ 14, 3}
{ 15, 4}
{ 16, 3}
{ 17, 3}
{ 18, 5}
{ 19, 3}
{ 20, 3}
{ 21, 4}
{ 22, 3}
{ 23, 5}
{ 24, 5}
{ 26, 3}
{ 27, 4}
{ 28, 3}

Posté par celinenounours (invité)re : Challenge n°180 : nombres premiers** 09-05-06 à 16:12

Après avoir relu un bonne vingtaine de fois l'énoncé de ce challenge je donne ma réponse...
J'ai trop de couples corrects pour pouvoir tous les écrire ici !

Voilà ce que j'ai compris :
- 425 et 737 sont premiers entre eux.
- 425 et 737 sont la combinaison linéaire de deux autres nombres a et b
donc il existe quatre nombres u, v, u' et v' tels que 425 u + 737 v = a et 425 u'+ 737 v' = b
ATTENTION : a et b doivent être premiers entre eux !!

En cherchant un peu, je trouve 20 nombres premiers, combinaison linéaire de 425 et 737 : ex. 3373=1*425+4*737 que j'écris 3373(1-4)
2437(4-1), 2749(3-2), 3061(2-3), 3373(1-4), 3911(4-3),
6547(5-6), 11593(3-14), 13691(1-18), 15391(5-18), 17489(3-22),
19813(5-24), 20749(2-27), 21061(1-28), 21599(4-27), 21911(3-28),
24547(4-31), 24859(3-32), 25171(2-33), 26021(4-33), 28657(5-36).
Rien qu'en formant des couples avec ces nombres, je trouve 190 couples (a;b) possibles et
- j'ai pris u dans [1;5] et v dans [1;40]
- je n'ai pas encore utilisé la possibilité de choisir des nombres non premiers mais premiers entre eux comme (1162;1899) ou (4847;7058).

Conclusion : je n'ai pas compris l'énigme et/ou il y a une infinité de solutions

Posté par
gloubi
re : Challenge n°180 : nombres premiers** 09-05-06 à 16:56

Bonjour,

Il y a trop de couples solutions pour les citer tous. Ou alors, je n'ai pas compris la questions.
Quelques solutions:
(2,25)  425=-25*2+19*25 , 737=6*2+29*25
(2,25)  425=25*2+15*25 , 737=6*2+29*25
(2,27)  425=-17*2+17*27 , 737=-23*2+29*27
(2,27)  425=-17*2+17*27 , 737=4*2+27*27
(2,27)  425=10*2+15*27 , 737=-23*2+29*27
(2,27)  425=10*2+15*27 , 737=4*2+27*27
(2,29)  425=-5*2+15*29 , 737=-23*2+27*29
(2,29)  425=-5*2+15*29 , 737=6*2+25*29
(2,29)  425=24*2+13*29 , 737=-23*2+27*29
(2,29)  425=24*2+13*29 , 737=6*2+25*29
(3,25)  425=-25*3+20*25 , 737=4*3+29*25
(3,25)  425=-25*3+20*25 , 737=29*3+26*25
(3,25)  425=25*3+14*25 , 737=4*3+29*25
(3,25)  425=25*3+14*25 , 737=29*3+26*25
(3,26)  425=-23*3+19*26 , 737=3*3+28*26
(3,26)  425=-23*3+19*26 , 737=29*3+25*26
(3,26)  425=3*3+16*26 , 737=3*3+28*26
(3,26)  425=3*3+16*26 , 737=29*3+25*26
(3,26)  425=29*3+13*26 , 737=3*3+28*26
(3,26)  425=29*3+13*26 , 737=29*3+25*26
(3,28)  425=-17*3+17*28 , 737=-25*3+29*28
(3,28)  425=-17*3+17*28 , 737=3*3+26*28
(3,28)  425=11*3+14*28 , 737=-25*3+29*28
(3,28)  425=11*3+14*28 , 737=3*3+26*28
(3,29)  425=-13*3+16*29 , 737=-25*3+28*29
(3,29)  425=-13*3+16*29 , 737=4*3+25*29
(3,29)  425=16*3+13*29 , 737=-25*3+28*29
(3,29)  425=16*3+13*29 , 737=4*3+25*29
(4,23)  425=-26*4+23*23 , 737=29*4+27*23
(4,23)  425=-3*4+19*23 , 737=29*4+27*23
(4,23)  425=20*4+15*23 , 737=29*4+27*23

A+,
gloubi

Posté par
puisea Posteur d'énigmes
re : Challenge n°180 : nombres premiers** 09-05-06 à 21:16

Bonsoir à tous,

Nous avons discuté de l'ambiguïté de l'énoncé sur le forum privé. Ambiguïté qui s'avère tout à fait avérée. Il en sort que cette énigme est désormais close, et aucun point ou malus n'a été accordé aux membres qui avaient déja pris le risque de répondre.

En réalité, il y avait plusieurs erreurs sur cet énoncé : notamment le terme de combinaison linéaire, que j'ai très mal employé et dont je n'ai pas précisé les particularités. D'autre part, j'ai mis "deux autres nombres eux aussi premiers entre eux" alors que cela aurait du être "deux autres nombres premiers", cela aurait réduit de manière significative les possibilités...

Je dois avouer que j'ai un peu accèléré la vérification sur le forum rpivé, sans attendre l'avis de plusieurs personnes afin de pouvoir vous proposer une énigme dans les délais que je tiens depuis quelques temps : 1 énigme tous les 4 jours environ.

Il me semble qu'il s'agit de la première énigme annulée (je me console en disant qu'il faut une première à tout) et j'en suis sincèrement désolé. J'espère que les désagréments, ou le temps de recherche inutile pour certains ne seront pas trop importants. Je vais tâcher au plus vite de vous proposer plusieurs énigmes pour d'une part m'exucser, et d'autre part, ne pas perdre le rythme.

Je pense que l'arrivée récente de minkus en soutient pour vous proposer plus régulièrement des énigmes limitera les chances de se trouver à nouveau face à ce genre de problème. Il est toujours possible qu'il traîne ca et là quelques ambiguïtés légères mais jusqu'alors, elles n'avaient pas été de cette ampleure.

Encore une fois toute mes excuses...
A bientot pour de nouvelles énigmes.

puisea

Posté par
pretty_nana10
re : Challenge n°180 : nombres premiers** 09-05-06 à 21:27

Salut,

je ne pense pas que ce soit un si grave problème, et comme vous dites "il faut une première à tout"...

Personnellement je n'en veux à personne ... même si je ne comprenais toujours pas bien l'énoncé ...

En tout cas, nO prOblem I think ...
On vous remercie déjà de nous consacrer du temps et de souvent publier ces intéressantes énigmes

@ + ... sur un autre topic

Posté par
minkus Posteur d'énigmes
re : Challenge n°180 : nombres premiers** 09-05-06 à 21:32

Je pense que l'arrivée récente de minkus en soutient pour vous proposer plus régulièrement des énigmes limitera les chances de se trouver à nouveau face à ce genre de problème.

Tout est relatif quand on sait que, sur le coup, le "combinaison lineaire" il est de moi :D

minkus

Put the blame on me boys, put the blame on me...

Posté par winona (invité)re : Challenge n°180 : nombres premiers** 09-05-06 à 21:40

Bonjour,
Avec un peu de patience (environ 1 heure), excell et un test voici mes réponses...qui je l'espère sont juste
(146;269)
(104;321)
(78;347)
(52;373)
(39;386)
(26;399)
(24;401)
(13;412)
(12;413)
(8;417)
(6;419)
(4;421)
(3;422)
(2;423)

Merci pour ton énigme et bye bye

Posté par
borneo
re : Challenge n°180 : nombres premiers** 09-05-06 à 22:06

Pas de regrets, Puisea, j'ai passé la journée à revoir le programme de la spé maths de Term S (grâce à un lumbago qui me cloue à la maison ) ça me servira bien un jour...
Comme je n'y arrivais pas par le raisonnement, j'ai fini par prendre excel, et j'ai trouvé toute la série de winona, que je commençais à saucissonner selon les diviseurs de ces nombres.
J'ai fini par me poser des questions, car je ne voyais rien d'aussi dur dans les mémobacs de ma fille. J'ai bien failli lui téléphoner, mais comme elle est en plein concours, j'aurais été mal reçue

Posté par
geo3
re : Challenge n°180 : nombres premiers** 09-05-06 à 22:58

Bonsoir
581 = 7.83   et  156 = 2².3.13 = 2.78 = 4.39 = 6.26 = 12.13 = 3.52 et ils sont premiers entr'eux.
581 - 156 = 425
581 + 156 = 737
et puis tous les couples que l'on peut former avec 7,83 et 2,3,4,6,12,13,26,39,52,78
et les éléments de chaque couple sont premiers entr'eux puique 7 et 83 sont 2 nombres 1ers
Je propose donc 3$\red{(581,156),(83,2),(83,3),(83,4),(83,6),(83,12),(83,13)(83,26),(83,39),(83,52),(83,78),(7,2),(7,3),(7,4),(7,6),(7,12),(7,13),(7,26),(7,39),(7,52),(7,78)}
Soit au total 21 couples.
A+

Posté par celinenounours (invité)re : Challenge n°180 : nombres premiers** 10-05-06 à 09:46

Merci pour les énigmes,

Je ne tiendrai rigueur ni à Puisea ni à Minkus, vous avez la gentillesse de nous trouver de nombreux challenges très intéressants. Je ne vous jetterai pas la pierre pour cet essai raté.

Merci d'avance pour les prochains sujets de réflexion.

Céline.

Posté par philoux (invité)re : Challenge n°180 : nombres premiers** 10-05-06 à 09:53

Bonjour

Puisea : ...j'ai mis "deux autres nombres eux aussi premiers entre eux" alors que cela aurait du être "deux autres nombres premiers", cela aurait réduit de manière significative les possibilités...

Et avec seulement 2 nombres premiers, que donnerait la solution ?

Y aurait-il une méthode "propre" pour trouver ces solutions ?

Si des GM pouvaient l'exposer, je les en remercie à l'avance.

Philoux

Posté par
kiko21
re : Challenge n°180 : nombres premiers** 10-05-06 à 16:14

Bonjour,

Je n'est pas répondu non plus car je n'avais pas fini.
Avec 2, j'avais 211 couples,
3 donnait 140 couples,
4 donnait 105 couples,
5 faisant couple avec les nombres de 6 à 84 moins les multiples de 5 (10,15,20...80) soit 64 couples,

Et là , j'ai arrêté !! J'ai pensé qu'il y avait un souci...

C'est pas grave, il y a de quoi se rattrapper sur les autres énigmes !!

Merci et à+, KiKo21.


Posté par
borneo
re : Challenge n°180 : nombres premiers** 10-05-06 à 23:09

Bonsoir tout le monde. Philoux, je ne te propose pas ma méthode, elle n'était pas "propre"

Posté par philoux (invité)re : Challenge n°180 : nombres premiers** 11-05-06 à 09:33

Bonjour

Pas d'amateur pour exposer leur "méthode" ?

Je rappelle ma question d'hier :

Puisea : ...j'ai mis "deux autres nombres eux aussi premiers entre eux" alors que cela aurait du être "deux autres nombres premiers", cela aurait réduit de manière significative les possibilités...

Et avec seulement 2 nombres premiers, que donnerait la solution ?

Y aurait-il une méthode "propre" pour trouver ces solutions ?

Si des GM pouvaient l'exposer, je les en remercie à l'avance


Philoux

Posté par savoie (invité)re : Challenge n°180 : nombres premiers** 11-05-06 à 11:17

Bonjour,

Avant de donner une méthode "propre", il me semble qu'il serait utile de reposer le problème et que l'on s'accorde sur ce que l'on cherche.

D'après ce que j'ai compris, on recherche deux nombres premiers X et Y tels que :

425 = aX + bY
737 = cX + dY
Et tels que : a b c et d sont des entiers positifs (strictement ?)

Même avec ces éléments, il y a pour l'instant beaucoup trop de possibilités. Imaginons X = 2. Tous les Y premiers impairs inférieurs à 425 conviennent !

Alors fautil se donner des contraintes supplémentaires ? Par exemple a = d et b = c ?

Posté par philoux (invité)re : Challenge n°180 : nombres premiers** 11-05-06 à 11:23

oui savoie

décidemment, elle était irrécupérable, cette énigme !

Philoux

Posté par
puisea Posteur d'énigmes
re : Challenge n°180 : nombres premiers** 11-05-06 à 13:00

Je ne vois pas pourquoi tous les nombres impairs inférieurs à 425 seraient des nombres premiers ? ^o)

Posté par philoux (invité)re : Challenge n°180 : nombres premiers** 11-05-06 à 13:07

savoie a écrit : Tous les Y premiers impairs inférieurs à 425 conviennent !

il aurait pu aussi écrire : Tous les Y premiers >2 inférieurs à 425 conviennent ![/i]

Philoux

Posté par
minkus Posteur d'énigmes
re : Challenge n°180 : nombres premiers** 11-05-06 à 15:21

Mais doit on dire "Tous les nombres premiers sont impairs sauf deux;" ou "tous les nombres premiers sont impairs sauf un." ?

Posté par philoux (invité)re : Challenge n°180 : nombres premiers** 11-05-06 à 15:40

hein ?

Posté par
borneo
re : Challenge n°180 : nombres premiers** 11-05-06 à 18:56

Très bon

Challenge (énigme mathématique) terminé .
Nombre de participations : 0
:)0,00 %0,00 %:(
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Temps de réponse moyen : 00:00:00.


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