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Niveau quatrième
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Chiffre des unités d'une puissance

Posté par
haha54
17-02-12 à 18:37

Bonjour a tous ! Alors voilà, j'ai un exercice où l'on me demande de donner le chiffre des unités de 20132013
J'ai cherché sur d'autres topics, d'autres sites, mais les réponses contenant beaucoup de termes que je n'utilise pas encore, je n'ai pas trouver la solution.
Merci d'avance !
haha54

Posté par
malou Moderateur
re : Chiffre des unités d'une puissance 17-02-12 à 18:42

Bonjour haha54

un nombre qui se termine par 3

quand tu le mets à l'exposant 1, il se termine par 3 (normal ! )
quand tu le mets à l'exposant 2, il se termine par 9 (car 3.3)
quand tu le mets à l'exposant 3, il se termine par ????

continue un peu comme ça quelques lignes.....

tu vas finir par comprendre quelque chose.....

Posté par
haha54
re : Chiffre des unités d'une puissance 17-02-12 à 18:50

haaa ! ça se répète !
31=3
32=9
33=27
34=81
35=343
36=729 etc..

mais maintenant, je fais comment pour la suite ?

Posté par
malou Moderateur
re : Chiffre des unités d'une puissance 17-02-12 à 18:55

tu fais des "paquets" pour voir tous les combien ça se répète...

Posté par
haha54
re : Chiffre des unités d'une puissance 17-02-12 à 19:00

merci beaucoup, j'ai réussi !
si on utilise la division euclidienne, on voit que 2013/4 = 503 R 1
donc le chiffre des unités est 5 !

encore merci, et à une prochaine fois peut-être !

Posté par
malou Moderateur
re : Chiffre des unités d'une puissance 17-02-12 à 19:02

si on utilise la division euclidienne, on voit que 2013/4 = 503 R 1 oui !
donc le chiffre des unités est ...attention....

Posté par
haha54
re : Chiffre des unités d'une puissance 17-02-12 à 19:11

ah c'est 3, mince ! j'ai confondu avec je sais pas trop quoi..

Posté par
malou Moderateur
re : Chiffre des unités d'une puissance 17-02-12 à 19:19

oui, c'est ça....

Citation :
j'ai confondu avec je sais pas trop quoi..

avec 35 je crois, qui se termine aussi par un 3

Posté par
haha54
re : Chiffre des unités d'une puissance 17-02-12 à 19:20

certainement oui

Posté par
malou Moderateur
re : Chiffre des unités d'une puissance 17-02-12 à 19:21

bonne soirée !

Posté par
eliodu33
re : Chiffre des unités d'une puissance 06-01-13 à 10:38

J'ai exactement le même exercice à faire mais je n'ai rien compris, quelqu'un peut m'aider ?

Posté par
Saysaye
? 22-01-13 à 21:29

Coucou
j'ai eu cette question à mon contrôle et j'ai eu tout faux, et il faut que l'on corrige cette exercice, je les refaits et j'ai enfin compris mais comment faire pour la rédaction?(comment l'écrire)
S'il vous plais répondez moi
Désolé si il y a des fautes

Posté par
malou Moderateur
re : Chiffre des unités d'une puissance 23-01-13 à 07:57

Bonjour Saysaye

rédiger, c'est faire comprendre ce qu'on a trouvé, sans rien oublier
Il n'y a pas une rédaction, mais certainement des rédactions possibles
Explique le avec tes mots, c'est ce que ton professeur attend

Posté par
Saysaye
Merci 23-01-13 à 16:15

Merci pour ce conseille,
je vais tout de suite prendre ma feuille et corriger cet exercice avec mes mots à moi
Bonne fin de journée

Posté par
malou Moderateur
re : Chiffre des unités d'une puissance 23-01-13 à 16:50

Posté par
edenette6
unité des puissances 27-01-13 à 20:02

J'ai le même exercice à faire : quel est le chiffre des unités de 2013^2013 ?

Mais si je répond avec la division euclidienne, elle va savoir que je l'ai pas fait toute seule parce qu'on ne l'a pas encore étudiée.
Est ce que quelqu'un aurait une autre réponse ?

Posté par
malou Moderateur
re : Chiffre des unités d'une puissance 27-01-13 à 20:05

la division, tu la connais depuis longtemps..;tu as le droit d'utiliser

tu as le droit d'expliquer que tu fais des paquets...mais en 4e, on fait une division !

Posté par
edenette6
re : Chiffre des unités d'une puissance 27-01-13 à 20:08

merci beaucoup, par contre c est quoi un exposant ?

Posté par
malou Moderateur
re : Chiffre des unités d'une puissance 27-01-13 à 20:17

la puissance

Posté par
edenette6
re : Chiffre des unités d'une puissance 27-01-13 à 20:18

Merci !!!  

Posté par
malou Moderateur
re : Chiffre des unités d'une puissance 27-01-13 à 20:18

Posté par
edenette6
re : Chiffre des unités d'une puissance 27-01-13 à 20:58

Je suis désolée mais je n'arrive toujours pas à comprendre. C'est quoi des paquets ?

Posté par
edenette6
re : Chiffre des unités d'une puissance 27-01-13 à 20:59

;(

Posté par
malou Moderateur
re : Chiffre des unités d'une puissance 27-01-13 à 21:00

quand tu as 25 bonbons et que tu fais des paquets de 4 bonbons, combien peux-tu faire de paquets ? combien reste-t-il de bonbons?....

quand tu as 25 et que tu divises par 4, combien obtiens-tu ? combien reste-t-il ?....

Posté par
edenette6
re : Chiffre des unités d'une puissance 28-01-13 à 17:16

Merci ! la j'ai vraiment tout compris !

Posté par
malou Moderateur
re : Chiffre des unités d'une puissance 28-01-13 à 17:21

Posté par
LiseeCh
Dm 07-02-13 à 18:59

Bonjour,

Moi aussi j'ai un exercice dans ce genre, c'est un Devoir Maison et la question est : Quel est le chiffre des unité de 13 2013 et je ne cromprend rien

Aidez moi, svp

Posté par
did54
re : Chiffre des unités d'une puissance 24-02-13 à 17:23

Monsieur le Professeur de Mathématique,

Je viens de découvrir l'exercice que vous avez proposé dans un devoir à la maison aux élèves de 4ème C :

« Trouver le chiffre des unités du nombre 2013^2013 »


Alors oui, l'exercice est plutôt amusant et correspond à une évidente actualité…


Bien sûr, la divisibilité par 3 du nombre 2013 n'est pas très difficile à trouver [1ère difficulté].

La décomposition : 2013^2013= (671^2013) x (3^2013)
qui est (peut-être ?) au programme de 4ème est déjà nettement moins évidente [2ème difficulté].

En revanche, la démonstration (par récurrence) du théorème qui énonce que :
« la puissance nième d'un nombre dont le chiffre des unités est 1 donne un nombre dont le chiffre des unités est 1 »
me semble difficilement à la portée de vos élèves [3ème difficulté].

Idem sur le fait que :
«  le produit d'un nombre dont le chiffre des unités est 1 par un nombre dont le chiffre des unités est n donne un nombre dont le chiffre des unités est n »  [4ème difficulté].

Cerise sur le gâteau, il fallait découvrir, ce qui n'est pas trivial en soi puisqu'aucune indication était fournie, que le chiffre des unités des puissances nième de 3 s'ordonnent suivant une suite périodique (1 ; 3 ; 9 ; 7) :

Et d'en conclure que le résultat demandé était 3.  
[5ème, et même 6ème difficulté car il ne s'agit pas seulement de trouver la suite, mais aussi d'affecter la bonne valeur à 3^2013  (reste de la division par 4)].

S'il est raisonnable de penser que la plupart des élèves de 4ème peuvent comprendre chaque étape de cette démonstration, je pense toutefois qu'aucun d'eux n'est capable de faire le cheminement pour trouver seul la démonstration.
Car cette démonstration, me semble-t-il, est plutôt d'un niveau de Terminale que de 4ème
(je fais ici référence à mes propres souvenirs, où un cours d'arithmétique était autrefois au programme de Terminale C).

Il y aura donc :

-les élèves qui n'auront pas répondu ou trouver un résultat faux parce qu'ils ne sont pas allés au bout de la démonstration,

-les élèves qui auront donné une réponse (juste ou fausse) au hasard
(avec un peu de réflexion il y a une chance sur 4 de trouver le bon résultat),

-les élèves qui se seront fait aider de leurs proches (parents, frères ou sœurs, …) ; ce qui évidemment n'est pas la façon la plus souhaitable de faire un devoir maison et qui crée une inégalité entre les élèves…

-ou plus fréquemment, les élèves qui auront interrogé les forums mathématiques sur internet (ce qui n'est également pas la façon la plus souhaitable de faire un DM).

Quoiqu'il en soit, je ne vois pas bien l'intérêt de donner un tel exercice à des élèves de 4ème.

NB : j'interviens pour ma part dans des formations en enseignement supérieur (école d'ingénieur, Master…) et je sais, par expérience, que le cumul de 3 difficultés sur une même question laisse sur le bord du chemin 90% des étudiants.
Alors que penser de 6 difficultés successives ?

Veuillez agréer, Monsieur le Professeur, mes salutations arithméticiennes.

Posté par
ceo21
re : Chiffre des unités d'une puissance 04-02-16 à 19:12

Bonjour,

J'ai un problème à mon avis simple mais qui me bloque.
exercice : 1)Calculer les deux derniers chiffres de 7^2, 7^3, 7^4, ..., 7^7.
2) Trouver les deux derniers chiffres des nombres 7^10, 7^48, 7^102, 7^2011.

Bon pour la première réponse ca va, on trouve : 49, 43, 01, 07, 49 et 43.
Mais pour la deuxième question quelque chose me perturbe. Je dois réaliser une division euclidienne, et c'est la que je comprends pas. Par exemple, je sais que pour 7^10 la réponse c'est 10=2*4+2 et donc 7^10 fini comme 7^2 soit 49,
7^48 la réponse c'est 48=11*4+4 et ca finit comme 7^4 donc 01.
Pourquoi on choisi 2*4+2 pour le premier cas ou 11*4+4 pour le deuxième ?
Pourquoi on ne choisi pas 10=3*3+1 pour le premier et 48=6*7+6, ou 48=10*4+8 ou encore 48=9*5+3 ???
Je n'arrive pas a comprendre et je ne sais pas comment faire pour déterminer le meilleur choix.

J'espère que vous pourrez m'expliquer.

Bonne soirée

Posté par
ceo21
choix division euclidienne et puissance 04-02-16 à 19:15

Bonjour,

J'ai un problème à mon avis simple mais qui me bloque.
exercice : 1)Calculer les deux derniers chiffres de 7^2, 7^3, 7^4, ..., 7^7.
2) Trouver les deux derniers chiffres des nombres 7^10, 7^48, 7^102, 7^2011.

Bon pour la première réponse ca va, on trouve : 49, 43, 01, 07, 49 et 43.
Mais pour la deuxième question quelque chose me perturbe. Je dois réaliser une division euclidienne, et c'est la que je comprends pas. Par exemple, je sais que pour 7^10 la réponse c'est 10=2*4+2 et donc 7^10 fini comme 7^2 soit 49,
7^48 la réponse c'est 48=11*4+4 et ca finit comme 7^4 donc 01.
Pourquoi on choisi 2*4+2 pour le premier cas ou 11*4+4 pour le deuxième ?
Pourquoi on ne choisi pas 10=3*3+1 pour le premier et 48=6*7+6, ou 48=10*4+8 ou encore 48=9*5+3 ???
Je n'arrive pas a comprendre et je ne sais pas comment faire pour déterminer le meilleur choix.

J'espère que vous pourrez m'expliquer.

Bonne soirée

*** message déplacé ***

Posté par
mathafou
re : Chiffre des unités d'une puissance 04-02-16 à 19:43

Bonjour,

nota : j'ai franchement rigolé devant le pamphlet de did54 qui n'a visiblement rien compris à la résolution de l'exo et qui invoque des connaissances inutile et effectivement au dela du niveau

ne tombe pas dans le même travers et comprends bien ce que veut dire la 1ère question de ton exo

que les deux derniers chiffres se répètent périodiquement :
7^0  se termine par 01
7^1  se termine par 07
7^2  se termine par 49
7^3  se termine par 43
7^4  se termine par 01
7^5  se termine par 07

donc tous les 4 exposants on retombera sur les mêmes valeurs puisque au bout de 4 "tours" on retombe sur le 1
observer que les 2 derniers chiffres d'une multiplication ne dépendent que des deux derniers chiffres des termes du produit ne doit pas faire appel à des connaissances de terminale sur les congruences, mais juste se rappeler de comment on pose des multiplications à l'école primaire

et en 4ème on sait que An * Ap = Am+p n'est ce pas

donc pour savoir sur laquelle on tombe, on groupe l'exposant par paquets de 4 !
chaque paquet de 4 interviendra comme un facteur 1 dans le produit
et ce qui reste donnera la solution.

par exemple exposant 10 :
7^10

on groupe l'exposant 10 par paquets de 4 : 2 paquets de 4 et reste 2
7^10 = 7^4 * 7^4 * 7^2
     se terminera par 01 * 01 * 49 = 49

et "grouper par 4 et voir ce qu'il reste" est exactement faire une division par 4 avec reste

(que l'on appelle "division Euclidienne" alors qu'on sait faire ça sans le dire depuis l'école primaire)

ceci est l'explication du pourquoi on divise par 4 dans cette division Euclidienne et pas par 3 ou je ne sais quoi :
parce  que la périodicité des deux derniers chiffres est de 4 dans la liste des puissances de 7

Posté par
mathafou
re : Chiffre des unités d'une puissance 04-02-16 à 19:45

* petite faute de frappe :  An * Ap = An+p

Posté par
malou Moderateur
re : Chiffre des unités d'une puissance 04-02-16 à 19:57

je ne connaissais pas la tirade de did54

Posté par
ceo21
re : Chiffre des unités d'une puissance 04-02-16 à 19:59

Génial merci bcp Mathafou.  
Bonne soirée

Posté par
mounir
re : Chiffre des unités d'une puissance 05-12-16 à 19:35

bonjour jai pareil avec le chiffre 2 puissace 2016 je ne sais vraiment pas comment faire s'il vous plait expliquez moi

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