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classification d'un endomorphisme
Bonsoir!
Je dois reconnaitre un endomorphisme dont la matrice dans la base canonique est :
4$A=\(\array{3,c.cccBCCC$&1&2&3\\\hdash~1&-1/2&-\sqrt{6}/4&\sqrt{6}/4\\2&\sqrt{6}/4&1/4&3/4\\3&-\sqrt{6}/4&3/4&1/4}\)
je ne suis pas sûre de la méthode pour classer cet endomorphisme donc si vous pensiez qu'elle est pas bonne dites le moi s'il vous plaît 
d'abord je vérifie que c'est une endomorphisme normal avec f(e1|e2)=f(e1|e3)=f(e3|e2)=0
f(e1|e1)=f(e2|e2)=f(e3|e3)=1
c'est le cas
puis je cherche les invariant en posant Bu=u avec u(x,y,z)
je trouve un plan d'equation z=-(\sqrt{6}/3)x+y
je calcul le determinant detA=1 donc l'isometrie est ici une rotation par rapport à l'axe cité au dessus.
puis maintenant je dois trouver l'angle de la rotation mais je bloque. je ne vois pas comment faire car on a une matrice 3,3 (avec 2,2) je sais faire.
merci d'avance
Bonsoir!
Je dois reconnaitre un endomorphisme dont la matrice dans la base canonique est :
|-1/2 -
6/4 6/4 |
|6/4 1/4 3/4 |
|-6/4 3/4 1/4 |
je ne suis pas sûre de la méthode pour classer cet endomorphisme donc si vous pensiez qu'elle est pas bonne dites le moi s'il vous plaît
d'abord je vérifie que c'est une endomorphisme normal avec f(e1|e2)=f(e1|e3)=f(e3|e2)=0
f(e1|e1)=f(e2|e2)=f(e3|e3)=1
c'est le cas
puis je cherche les invariant en posant Bu=u avec u(x,y,z)
je trouve un plan d'equation z=-(\sqrt{6}/3)x+y
je calcul le determinant detA=1 donc l'isometrie est ici une rotation par rapport à l'axe cité au dessus.
puis maintenant je dois trouver l'angle de la rotation mais je bloque. je ne vois pas comment faire car on a une matrice 3,3 (avec 2,2) je sais faire.
merci d'avance
*** message déplacé ***
Edit jamo : le MULTI-POST est interdit sur ce forum. (voir : 
[lien] )
oups 
je croyais avoir rectifié mais ca n'a pas du marcher . puis en plus je ne suis pas douée en LateX 
L'espace des invariants est de dimension 1, il s'agit de
Si l'espace des invariants était de dimension 2(un plan), alors cela ne pourrait pas être une rotation.
Maintenant, il s'agit en effet d'une rotation.
On sait(réduction des matrices orthogonales+ dim 3 +det 1 +dim des invariant=1) que la matrice est semblable a une matrice de la forme
Il faut donc trouver , or on sait que la trace d'un endomorphisme est invariante par changement de bases.
Donc (je note la matrice de depart A), on a
Mais on a alors deux angles possibles (un positif , un negatif)
Il reste à signaler que est du signe de
(la matrice constitué des vecteurs colonnes e A(e) et u)
ou e désigne un vecteur quelconque distinct de u et u désigne un vecteur de l'axe de rotation .
en esperant t'avoir apporté des réponses...
*** message déplacé ***
Tout d'abord je tiens a vous remercier pour la qualité de vos réponses.
Il y juste une chose que je ne suis pas sûre d'avoir comprise.
Donc pour les angles c'est soit -2
/3 ou soit 2/3
pour le Determinant si je prends e(0,1,0)
j'ai donc A(e)=(-6/4 , 1/4, 3/4)
et u=(0,1,1)
soit
|0 -6/4 0 |
|1 1/4 1 |
|0 3/4 1|
Det=6/4 donc positif
donc l'angle de la rotation autour de la droite vectorielle engendrée par V(0,1,1) est 2/3
J'ai bien compris ou j'ai rien compris ?
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