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Niveau Maths sup
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Classification de quelques groupes finis

Posté par
drey
12-12-08 à 18:56

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Bonjour j'ai un problème pour répondre a deux questions de mon devoir maison est ce que quelqu'un pourrait m'aider?
(G,.) désigne un groupe fini. Soit a un élément de G et f:Z->G,k->a^k.
On note <a>={a^k,kappartient à Z}le sous groupe de (G,.) engendré par a.

j'ai montré que f n'était pas injectif donc il existe (i,j) appartient à Z² tel que i<j et a^i=a^j
1)Montrer que H={k appartient à N*,a^k=e} admet un plus petit élément d

d est donc le plus petit entier >0 tel que a^d=e, d s'apelle l'ordre de a dans le groupe G
2) Donner, sans justifier, l'ordre de chaque élément du groupe (U6,.) des racines sixièmes de l'unité.

Est ce que quelqu'un pourrait m'aider pour les questions 1 et 2? merci d'avance

Posté par
Rodrigo
re : Classification de quelques groupes finis 12-12-08 à 19:19

Bonjour
H est une partie non vide de n (puisque i-j est dedans si i>j et j-i est dedans sinon)
Pour le groupe des racines 6eme de l'unité ben exp(2kipi/6) est d'ordre 6/pgcd(6,k)

Posté par
drey
re : Classification de quelques groupes finis 12-12-08 à 20:14

merci de m'avoir répondu si vite mais je ne comprends pourquoi i et j sont dans H et est ce que tu pourrais être plus précis  pour la deuxième question s^tp car je ne vois pas du tout. merci

Posté par
apaugam
re : Classification de quelques groupes finis 12-12-08 à 20:23

c'est j-i qui est ds H car en multipliant a^i=a^j par a^{-i} on obtient
a^{j-i}=e

Posté par
apaugam
re : Classification de quelques groupes finis 12-12-08 à 20:24

et toute partie non vide de N a un plus petit élément

Posté par
Rodrigo
re : Classification de quelques groupes finis 12-12-08 à 20:30

C'est i-j ou j-i celui qui est positif en fait... O peut tout autant multiplier par a^{-j}.
En fait si l'on suppose que i>j on simplifie par a^i, sinon on simplifie par a^j bref c'est simple quoi...

Posté par
drey
Groupes 14-12-08 à 11:58

Bonjour j'ai un problème pour répondre a deux questions de mon devoir maison est ce que quelqu'un pourrait m'aider?
(G,.) désigne un groupe fini. Soit a un élément de G et f:Z->G,k->a^k.
On note <a>={a^k,kappartient à Z}le sous groupe de (G,.) engendré par a.

J'ai montré que f était un morphisme du groupe (Z,+) vers (G,.)
il faut que j'en déduise que <a> est bien un sous groupe de (G,.) puis que je montre que f n'est pas injectif. Est ce que quelqu'un pourrait m'aider je ne vois pas comment faire?
merci d'avance

*** message déplacé ***

édit Océane : pose toutes les questions de ton exercice dans le même topic, merci

Posté par
lolo217
re : Groupes 14-12-08 à 12:00

Bonjour,

L'image d'un groupe par un morphisme de groupe c'est quoi ?
Combien as-t u d'éléments dans l'image s'il était injectif ?

*** message déplacé ***

Posté par
drey
re : Classification de quelques groupes finis 14-12-08 à 12:06

merci d'avoir répondu si vite mais je ne vois pas ce qu'est l'image d'un groupe par un morphisme de groupe!



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