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CNS de la non périodicité d une fonction
Bonjour,
Soit la fonction où a est un réel.
Trouver une condition nécessaire et suffisante sur a pour que f ne soit pas périodique.
Intuitivement, on se doute que f ne sera pas périodique quand a sera irrationnel, mais comment peut-on le montrer proprement?
J'ai essayé de résoudre f(x)=f(x+T) en utilisant toutes les formules trigonométriques possible, mais rien ne se simplifie.
Merci d'essayer de m'aider.
Fractal
Salut Fractal
Montrons que f non pérodique => a est irrationnel
Par contraposé ,suppossons que a est rationnel
a = p/q où p et q sont des entiers relatifs
Soit x un réel
f(x+2q
) = cos(x+2q) + cos(p/q (x+2q)
= cos(x) + cos(ax + 2p) = cos(x) + cos(ax) = f(x)
Donc f est périodique de période T<=2q ...
Pour la réciproque je réfléchis un peu .... 
Réciproquement montrons que a irrationnel => f non périodique
Par contraposée, supposons que f est T-périodique
alors pour tout x réel ,on a :
cos(x+T)+cos(ax+aT) = cos(x)+cos(ax)
ssi
cos(x)cos(T) - sin(x)sin(T) + cos(ax)cos(aT) - sin(ax)sin(aT) = cos(x)+cos(ax)
ssi
cos(x)(cos(T)-1) + cos(ax)(cos(aT)-1) - sin(x)sin(T) - sin(ax)sin(aT) = 0 (E)
En particulier pour x=0 on a :
cos(T) + cos(aT) = 2
Et si T 
2
ou aT 2
alors
cos(T) + cos(aT) < 2
Donc T,aT 
2
T = 2q et aT = 2p
Donc a = aT/T = p/q est rationnel (cqfd)
A plus
Matouille2b
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