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Niveau maths spé
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CNS sur un endomorphisme

Posté par
jordan12
23-05-16 à 18:49

Bonjour,
Voici l'énoncé de mon exercice :
"Soit A et B deux sous-espaces d'un EV que l'on note E (de dimension finie). Trouver une CNS pour qu'il existe une application hL(E) tel que Im(h)=A et Ker(h)=B"

Voici mon raisonnement :
En notant m la dimension de E, avec le théorème du rang, on doit avoir dimA+dimB=m
Puis, avec h non nulle, on doit avoir rg(h)>=1. Ainsi, dim(Ker(h))<=m-1.

Je n'arrive pas à approfondir la question.. je ne trouve pas de conditions supplémentaire. Que tirer de Ker(h)=B? une question d'injectivité,  et de surjectivité sur A ?

Merci d'avance
Jordan

Posté par
carpediem
re : CNS sur un endomorphisme 23-05-16 à 19:48

salut

la projection sur A parallèlement à B ne pourrait-elle convenir ?

Posté par
Recomic35
re : CNS sur un endomorphisme 23-05-16 à 19:55

@carpediem : encore faudrait-il que A et B soient supplémentaires !

@jordan12 : Tu sais qu'une application linéaire est déterminée de manière unique par l'image d'une base. Tu peux partir d'une base de A, la compléter, et trouver une manière astucieuse d'envoyer cette base de façon que l'endomorphisme ainsi défini ait pour noyau A et image B.

Posté par
Recomic35
re : CNS sur un endomorphisme 23-05-16 à 19:56

Zut, j'ai échangé les rôles de A et B dans mon indication, mais tu es assez grand pour rectifier.

Posté par
jordan12
re : CNS sur un endomorphisme 23-05-16 à 19:58

Comme A et B sont supplémentaires, oui c'est intéressant...
Mais l'existence de l'endomorphisme vient de celle de la projection a fortiori?  

Posté par
jordan12
re : CNS sur un endomorphisme 23-05-16 à 20:02

oups, on ne sait effectivement pas si ils sont supplémentaires oui bien vu

Posté par
carpediem
re : CNS sur un endomorphisme 23-05-16 à 20:27

Citation :
@carpediem : encore faudrait-il que A et B soient supplémentaires !


bien sur je posais cette question en ayant en tête le fait que A et B soient supplémentaires  ... mais ce n'est qu'une condition suffisante ... (pour répondre à la question de l'énoncé) ....

Posté par
Recomic35
re : CNS sur un endomorphisme 23-05-16 à 21:07

@carpediem : Alors tu as mal lu l'énoncé, car il demande une condition nécessaire et suffisante.

@jordan12 : essaie donc l'indication que j'ai donnée !

Posté par
jordan12
re : CNS sur un endomorphisme 23-05-16 à 21:38

merci !!



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