Bonjour,
Voici l'énoncé de mon exercice :
"Soit A et B deux sous-espaces d'un EV que l'on note E (de dimension finie). Trouver une CNS pour qu'il existe une application hL(E) tel que Im(h)=A et Ker(h)=B"
Voici mon raisonnement :
En notant m la dimension de E, avec le théorème du rang, on doit avoir dimA+dimB=m
Puis, avec h non nulle, on doit avoir rg(h)>=1. Ainsi, dim(Ker(h))<=m-1.
Je n'arrive pas à approfondir la question.. je ne trouve pas de conditions supplémentaire. Que tirer de Ker(h)=B? une question d'injectivité, et de surjectivité sur A ?
Merci d'avance
Jordan
@carpediem : encore faudrait-il que et soient supplémentaires !
@jordan12 : Tu sais qu'une application linéaire est déterminée de manière unique par l'image d'une base. Tu peux partir d'une base de A, la compléter, et trouver une manière astucieuse d'envoyer cette base de façon que l'endomorphisme ainsi défini ait pour noyau A et image B.
Comme A et B sont supplémentaires, oui c'est intéressant...
Mais l'existence de l'endomorphisme vient de celle de la projection a fortiori?
@carpediem : Alors tu as mal lu l'énoncé, car il demande une condition nécessaire et suffisante.
@jordan12 : essaie donc l'indication que j'ai donnée !
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