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Niveau Licence Maths 1e ann
complexe, forme exponentielle, polynome de troisieme degres
Posté par flap1847
Bonjour, je voulais savoir comment déterminons nous les racines de + 1 dans C.
Cdlt
bonsoir : )
En résolvant l'équation d'inconnue complexe :
.
Les solutions sont immédiates.
Dans un cadre général on parlera de racine n-ièmes de l'unité.
Ou bien ...
(x³+1) = (x+1).(x²-x+1)
...
Jadis, la relation (a³+b³) = (a+b)(a²-ab+b²) était sensée connue en 3ème secondaire.
Sauf distraction. 
La méthode à J-P, est facile à faire merci.
Et mdr_non, en quoi les solutions sont immédiates, car maintenant que je les ai, je ne vois pas comment j'aurais pu directement les voir
Les solutions sont immédiates puisque -1 est solution évidente. Il reste un second degré à résoudre.
Les solutions sont encore plus immédiates si tu écrivais sous sa forme exponentielle....
Lire :
Il reste une équation du second degré à résoudre.
Et je ne comprends pas trop comment tu estimes que la méthode de J-P serait plus facile à faire alors qu'il s'agit de résoudre l'équation dans tous les cas.
Ou alors tu ne fais pas le lien.
1)
Par : (a³+b³) = (a+b)(a²-ab+b²) avec a = x et b = 1 :
(x³+1) = (x+1).(x²-x+1)
x²-x+1 = 0
x = [1 +/- (1-4)^(1/2)]/2 = (1 +/- i.V3)/2
S(-1 , 1/2 - i.(V3)/2 , 1/2 + i.(V3)/2)
*****************
2)
(x³+1) = 0
x = -1 est une racine évidente --> on manipule x³+1 pour faire apparaître le facteur (x+1)
x³+1 = x³+x² - x² - x + x + 1 = 0
x³+1 = x²(x+1) - x(x+1) + (x+1)
x³+1 = (x+1).(x² - x + 1)
suite comme en (1)
*****************
3)
x³+1 = 0
x = -1 est une racine évidente --> on fait la division euclidienne de (x³+1) par (x+1)
Et donc (x³+1) = (x+1).(x²-x+1)
suite comme en (1)
******************
4)
x³+1 = 0
x³ = -1
x³ = e^(-Pi + 2k.Pi)
x = e^((-Pi + 2k.Pi)/3)
On a toutes les solutions en remplaçant k par 0, 1 ou 2
k = 0 : x0 = e^(-Pi/3) = cos(-Pi/3) + i.sin(-Pi/3) = 1/2 - i.(V3)/2
k = 1 : x1 = e^((-Pi + 2.Pi)/3) = e^(Pi/3) = cos(Pi/3) + i.sin(Pi/3) = 1/2 + i.(V3)/2
k = 2 : x2 = e^((-Pi + 4.Pi)/3) = e^(Pi) = cos(Pi) + i.sin(Pi) = -1
S(-1 , 1/2 - i.(V3)/2 , 1/2 + i.(V3)/2)
*******************
Voila, il y a le choix quant à la méthode de résolution.
Au niveau License (et même bien avant), toutes ces méthodes devraient être abordables.