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Niveau Licence Maths 1e ann
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Concavité/convexité et extremum

Posté par
Bastien51
30-04-16 à 10:35

Bonjour,

J'aimerais avoir une démonstration (ou explication trivial) de la propriété suivante :

Soit f : I -> R une fonction doublement dérivable
Soit a appartenant à I un point critique de f
f(a) est un extremum local si f''(a) différent de 0 (càd si f est convexe ou concave en a)

Merci !

Posté par
luzak
re : Concavité/convexité et extremum 30-04-16 à 10:42

Bonjour !
Il suffit d'écrire la formule de Taylor d'ordre 2 en a puisque f'(a)=0.

Posté par
Bastien51
re : Concavité/convexité et extremum 30-04-16 à 10:51

Merci de la réponse rapide !
Malheureusement, je ne verrai la formule de Taylor que dans deux chapitres Peut-on passer par une autre démonstration ?
Le cas échéant, j'essayerai de regarder cette fameuse formule par moi même

Posté par
etniopal
re : Concavité/convexité et extremum 30-04-16 à 11:40

Soit a un point intérieur à I où f présente un extremum local . On a donc f '(a) = 0 .
Tu poses u(0) = 0  et  u(x) =\frac{ f'(x) }{x} -  f''(a)   si x   0 , a + x I .

u est continue  et on a , en posant   v(x) = \frac{\int_{0}^{x}{tu(t)dt} }{x^2}

f(a+x) - f(a) = \frac{x^2}{2}f''(a) + \int_{0}^{x}{tu(t)dt} = x².(\frac{f''(a)}{2})+ v(x))    
Montre que v(x)   0 quand x   0 .
Si |x|  est assez petit , le signe de f(x) - f(a) est donc celui de f"(a) .

Posté par
luzak
re : Concavité/convexité et extremum 01-05-16 à 10:30

Bonjour à tous !
@etniopal : la formule que tu proposes n'est autre que la formule de Taylor avec reste intégral !
Et tu l'obtiens facilement en faisant une intégration par parties dans f(x)-f(a)=\int_a^xf'(t)\mathrm{d}t.

Pour se "passer" de la formule de Taylor il suffit d'étudier les variations de \varphi : x\mapsto f(x)-f(a).
On a \varphi'(x)=f'(x),\;\varphi'(a)=0,\;\varphi''(x)=f''(x). Et tu discutes ensuite selon le signe de f''(a). Mais il faut savoir si f'' a un signe constant : c'est vrai sur un voisinage de a , soit par continuité (ce qui n'est pas dans l'énoncé) soit par théorème de Darboux (ce qui est plus sophistiqué).



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