Bonjour,
J'aimerais avoir une démonstration (ou explication trivial) de la propriété suivante :
Soit f : I -> R une fonction doublement dérivable
Soit a appartenant à I un point critique de f
f(a) est un extremum local si f''(a) différent de 0 (càd si f est convexe ou concave en a)
Merci !
Merci de la réponse rapide !
Malheureusement, je ne verrai la formule de Taylor que dans deux chapitres Peut-on passer par une autre démonstration ?
Le cas échéant, j'essayerai de regarder cette fameuse formule par moi même
Soit a un point intérieur à I où f présente un extremum local . On a donc f '(a) = 0 .
Tu poses u(0) = 0 et si x 0 , a + x I .
u est continue et on a , en posant
Montre que v(x) 0 quand x 0 .
Si |x| est assez petit , le signe de f(x) - f(a) est donc celui de f"(a) .
Bonjour à tous !
@etniopal : la formule que tu proposes n'est autre que la formule de Taylor avec reste intégral !
Et tu l'obtiens facilement en faisant une intégration par parties dans .
Pour se "passer" de la formule de Taylor il suffit d'étudier les variations de .
On a . Et tu discutes ensuite selon le signe de . Mais il faut savoir si a un signe constant : c'est vrai sur un voisinage de , soit par continuité (ce qui n'est pas dans l'énoncé) soit par théorème de Darboux (ce qui est plus sophistiqué).
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