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Niveau Maths sup
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Condition nécessaire et suffisante

Posté par
soniagon
28-07-09 à 10:10

Bonjour,

J'ai un peu de mal avec les conditions nécessaires et suffisantes donc je veux bien vos propositions pour démontrer l'exo suivant de façon rigoureuse.

Soit E un ensemble  et A et B deux sous-ensembles de E.
On considère f : P(E) -> P(A)
                   X  -> A inter X
1) Montrer que A=E est une C.N.S. d'injectivité de f.
2) Trouver une C.N.S. de surjectivité de f.

Merci pour vos réponses

Posté par
girdav
re : Condition nécessaire et suffisante 28-07-09 à 10:56

Bonjour.
Si A=E alors pour X,Y \in \mathcal{P}\(E\) A\cap X = \cdots et A \cap Y = \cdots donc si A \cap X =A \cap Y alors \cdots.

Posté par
1 Schumi 1
re : Condition nécessaire et suffisante 28-07-09 à 11:05

Salut

Un peu dans l'abstrait au début et après on revient à ton problème.
On prend deux propositions P et Q.

On dira que P est une condition nécessaire pour Q si la véracitude de Q impose celle de P. C'est à dire que si on a Q, on ne peut pas ne pas avoir P avec. D'où le terme de nécessaire. En terme logique, ça s'écrit Q==>P. Par contre P peut très bien être vraie sans que Q le soit ici.


On dira que P est une condition suffisante pour Q si, pour démontrer Q il nous suffit de démontrer P. Id est, le fait que P soit vraie impose le fait que Q soit également vraie. En termes logique, ça s'écrit P==>Q. Mais on peut très bien ici démontrer que Q est vraie sans pour autant démontrer que P est vraie. Si par exemple on connaît une autre proposition P' plus simple à démontrer que P et telle que P'==>Q également, alors autant démontrer P'. D'autant plus que dans certains cas, certaines conditions suffisantes P peuvent être fausses sans pour autant que Q le soit.


On revient à ton cas.
1) On te demande de prouver que "A=E" (le P de ci-dessus) est une condition nécessaire et suffisante à "f est injective".
Je propose de commencer par la nécessaire.
Alors tu dois démontrer que si f est injective alors A=E.
Mieux vaut procéder par l'absurde ici. Tu supposes qu'il existe un élément de E qui ne soit pas dans A et trouve X et X' différents tels que f(X)=f(X').

Après on montre que c'est suffisant.
Donc ici tu supposes que A=E et tu montres que f est injective... Mais ô miracle, écrit ce que vaut f(X) en remplaçant A par E... Ya une simplification sympathique qui se produit...

Posté par
soniagon
re : Condition nécessaire et suffisante 28-07-09 à 13:01

Merci beaucoup pour ta réponse c'est bien plus clair...
Bonne journée



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