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Niveau Licence Maths 1e ann
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conservation branche d'hyperbole

Posté par
Lucie68
03-06-09 à 22:01

Bonjour tout le monde !!

J'ai lu une introduction aux fonctions logarithmes quelque part, j'ai cerné l'idée mais j'aurais aimé comprendre ^pls en profondeur.
Le but est de montrer que l'aire sous la courbe de la fonction qui à x associe 1/x vérifie :
f(xy)=f(x)f(y)

Pour cela on considère la transformation :
(x,y) --> (ax,y/a) pour a>0

Cette transformation conserve l'aire d'un rectangle aux côtés parallèles aux axes, ça ok.
Mais comment montrer que cette transformation conserve la branche d'hyperbole?
Voilà, ma question ..

Alors intuitivement je vois très bien, mais je ne sais pas comment démontrer ça de façon rigoureuse ..
Si vous pouvez m'aider ....
Merci

Posté par
verdurin
re : conservation branche d'hyperbole 03-06-09 à 22:36

Bonsoir,
si y=\frac1x la transformation donne (x,\frac1x)\mapsto \left(ax, \frac1x \cdot \frac1a\right)
Ce qui montre qu'elle conserve la branche d'hyperbole.

Posté par
erio
re : conservation branche d'hyperbole 03-06-09 à 23:12

Par contre je pense que tu veux parler de l'aire sous la courbe entre les abscisses 1 et x.
De plus la relation à vérifier est :
f(xy)=f(x)+f(y)

Posté par
Lucie68
re : conservation branche d'hyperbole 04-06-09 à 08:09

:s

Exact, la relation à vérifier est f(xy)=f(x)+f(y).
Et c'est l'aire sous la courbe entre 1 et x.
J'essaierai d'être plus rigoureuse par la suite ...!

Donc enfaite la justification du fait qu'elle conserve la branche d'hyperbole vient tout simplement du fait que en posant X=ax,
on retrouve  (X,1/X) qui est une branche d'hyperbole, c'est ça?

Et le fait que
-elle conserve la branche d'hyperbole
-elle conserve l'aire d'un rectangle aux côtés parallèles aux axes
entraine qu'elle conserve les aires,
Est ce que ça se démontre rigoureusement ?
Parce que là encore intuitivement c'est évident.

Merci
Lucie

Posté par
erio
re : conservation branche d'hyperbole 04-06-09 à 10:32

Pour démontrer que l'hyperbole est "conservée"... Si on appelle H les points du plan qui sont sur l'hyperbole, et g la transformation en question, on aura alors g(H)H. Pour avoir g(H)=H, il faut en outre montrer que tout point de H est dans l'image par g d'un point de H. On peut alors prendre un point de H et remarquer que la tranformation de paramètre 1/a "remet le point à sa place" donc on trouve facilement le point antécédent. En fait il s'agit d'une bijection...

Pour démontrer quelque chose rigoureusement sur l'"aire sous les courbes" il me semble qu'il est nécessaire de revenir à la définition de l'intégrale... Que l'on travaille avec l'intégrale de Riemann ou celle de Lebesgue, on part toujours de la surface de rectangles (subdivision, intégrale de Riemann, etc.) ou de pavés (algèbre des réunions finies de pavés qui engendre les boréliens, dans le cas de la mesure de Lebesgue).

Donc la démonstration la plus simple est encore de faire un changement de variable sur l'intégrale... h(x)=1/x, changement de variable u=at
\int_1^x h(t)dt = \int_a^{ax} h(\frac{u}{a})\frac{du}{a} = \int_a^{ax} h(u)du
La deuxième intégrale correspondant exactement à l'aire sous la courbe après transformation...

Posté par
Lucie68
re : conservation branche d'hyperbole 04-06-09 à 19:01

D'accord !!
Je te remercie

Lucie



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