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Niveau Maths sup
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Construction matricielle du corps des nombres complexes

Posté par
Columbia
16-08-09 à 00:36

Bonjour,

Pourriez vous m'expliquer un passage d'une démonstration de construction matricielle du corps que j'ai trouvée dans un livre et que j'ai (en partie) retrouvée sur wikipédia ? Voici le lien de la démo sur wikipédia :

"http://fr.wikipedia.org/wiki/Construction_des_nombres_complexes#Construction_matricielle"

Il y a un gros point que je ne comprends pas en fait.

Dans mon livre, il est dit à la fin de la démo :
"l'application -> I étant un morphisme injectif d'anneaux de dans C, le corps est isomorphe à un sous-corps de C. Il suffit alors d'identifier tout réel avec la matrice scalaire I et de poser i = J pour avoir un corps répondant au problème."

Voilà, pourriez-vous en gros m'expliquer tout le dernier paragraphe auquel je n'ai saisi que très peu de choses ?

D'avance merci pour votre aide.

Posté par
Prof_maths31
re : Construction matricielle du corps des nombres complexes 16-08-09 à 00:47

quel est ce "corps répondant au problème"?

Posté par
Prof_maths31
re : Construction matricielle du corps des nombres complexes 16-08-09 à 00:49

et à quoi correspondent i et J dans "poser i = J pour avoir un corps répondant au problème." ?

Posté par
Arkhnor
re : Construction matricielle du corps des nombres complexes 16-08-09 à 09:25

Bonjour.

Je pense ne pas me tromper en disant que l'on cherche un corps contenant \mathbb R et un élément dont le carré vaut -1 ...
J est une matrice dont le carré est l'opposé de l'identité. (d'où l'intérêt de lui faire jouer le rôle de i, l'unité imaginaire)

Bon, c'est d'un usage courant en algèbre, et dans d'autres branches des mathématiques, lorsqu'on dispose d'une injection d'un ensemble A vers un ensemble B qui respecte les structures algébriques des deux ensembles, on identifie A avec son image dans B par l'injection. Une fois cette identification faite, on a que A est inclus dans B.

C'est ce qui se passe ici, on dispose d'un morphisme d'anneaux injectifs de \mathbb R dans \mathbb C, on sait donc que l'image de \mathbb R par ce morphisme est un sous-corps de \mathbb C isomorphe à \mathbb R (l'isomorphisme, c'est justement ce morphisme injectif, quand on restreint son espace d'arrivée à l'image, il devient bijectif), ainsi une fois qu'on identifie un élément de \mathbb R avec son image dans \mathbb C, on a bien \mathbb R \subset \mathbb C.

De plus, dans \mathbb C tel qu'on l'a construit, on dispose d'une matrice J telle que J^2 = -Id. Or, par l'identification qu'on a faite entre \mathbb R et son image, -Id n'est rien d'autre que -1. On a donc un élément J tel que J^2 = -1. On s'empresse alors de renommer J par i.

Posté par
Columbia
re : Construction matricielle du corps des nombres complexes 16-08-09 à 18:06

je dois avouer que je n'ai pas bien compris.
Déjà je ne comprends pas pourquoi l'application ->I est un "morphisme injectif d'anneaux de dans C (et non ).
De plus, J2= - I et non  Id comme vous l'avez écrit non ?

Posté par
Arkhnor
re : Construction matricielle du corps des nombres complexes 16-08-09 à 18:18

De plus, J2= - I et non  Id comme vous l'avez écrit non ?
J'ai noté Id pour la matrice identité, sur ton lien, il note I.

De plus, lors de la construction, on appelle provisoirement cet ensemble C, mais il s'agit bien de \mathbb{C}.

Déjà je ne comprends pas pourquoi l'application ->I est un "morphisme injectif d'anneaux de R dans C
Il n'y a pas grand chose à comprendre, il faut le prouver, tu dois vérifier que c'est un morphisme d'anneaux, et ensuite qu'il est injectif.

Sais-tu ce qu'est un morphisme d'anneaux (et ce qu'est qu'un anneau et un corps) ?

Posté par
Columbia
re : Construction matricielle du corps des nombres complexes 16-08-09 à 20:29

En fait, j'arrive à comprendre pourquoi ce sont des anneaux (encore que pour C on n'a pas prouvé que X soit distributive par rapport à + non ?), mais il y a deux zones d'ombre :

1. Pourquoi est-ce injectif et non bijectif ?
2. Je ne saisi pas bien l'idée qu'un "morphisme est une application entre deux ensembles munis d'une même espèce de structure algébrique, qui respecte cette structure": pourquoi et C ont-ils une même structure, et qu'est-ce que ça veut dire "respecter cette structure" ?

Voilà à peu près ce que je ne comprends pas pour l'instant (sinon je sais ce qu'est un corps et un anneau).
ça fait bcp de questions et je te remercie pour ton attention !

Posté par
Columbia
re : Construction matricielle du corps des nombres complexes 16-08-09 à 20:50

Au fait, j'ai une question qui n'a absolument rien à voir avec ce topic :

pourquoi si u est un endomorphisme, et U = MatB(u) avec B base canonique de Kn
alors u2= -Id => U2= -I

En fait, je connais cette propriété fondamentale, mais je me demandais comment la démontrer...

Posté par
Arkhnor
re : Construction matricielle du corps des nombres complexes 16-08-09 à 20:51

encore que pour C on n'a pas prouvé que X soit distributive par rapport à + non ?
Non, mais ça ne présente aucune difficulté, tu peux le vérifier si tu le souhaites.

pourquoi R et C ont-ils une même structure
(\mathbb{R}, +, \times) est un anneau, et même un corps, c'est un fait, ça vient de la construction des réels.
(C, +, \times) (l'ensemble qu'on est en train de construire), est lui aussi un corps.

et qu'est-ce que ça veut dire "respecter cette structure" ?
Un morphisme d'anneaux (ou de corps), c'est une application \varphi : A \to B, où A et B sont deux anneaux (je note leurs LCI + et \times pour chacun), et qui vérifie \varphi(x+y) = \varphi(x) + \varphi(y), \varphi(x\times y) = \varphi(x)\times \varphi(y) pour tout x,y \in A, et \varphi(1_A) = \varphi(1_B). C'est ce qu'on entend par "respecter les structures algébriques".

On montre donc que \varphi : \mathbb{R} \to C défini par \varphi(a) = aI pour tout a \in \mathbb R est un morphisme injectif. Il n'est pas surjectif, car l'image de \varphi est l'ensemble des matrices de la forme aI, avec a \in \mathbb{R}, or il y a des matrices dans C qui ne sont pas de cette forme, par exemple J.

On a en fait que l'image de \varphi est un sous-corps de C (c'est une propriété des morphismes, mais on peut le redémontrer directement dans ce cas particulier), et si on regarde \varphi comme un morphisme de corps de \mathbb R dans Im(\varphi) (on restreint l'ensemble d'arrivée à l'image), on obtient un morphisme bijectif, c'est ce qu'on appelle un isomorphisme.

Quand on a un isomorphisme entre deux structures algébriques (ici deux corps), on peut les identifier via cet isomorphisme, en fait, on ne fait juste que changer le nom des éléments, sans toucher aux LCI.
On a donc que \mathbb R est isomorphe à Im(\varphi), ce qui permet de considérer \mathbb R comme une sous-corps de C.

Posté par
Arkhnor
re : Construction matricielle du corps des nombres complexes 16-08-09 à 20:54

Pour ta dernière question, ça vient juste du fait qu'on a un isomorphisme entre \mathcal{L}(E) (ensemble des endomorphisme de E) et \mathcal{M}_n(k), l'isomorphisme étant l'application qui a un endomorphisme associe sa matrice dans une base \mathcal{B} fixée.

Posté par
Columbia
re : Construction matricielle du corps des nombres complexes 16-08-09 à 23:35

j'ai bien pris le temps de lire tout ce que tu as écrit et devine quoi...j'ai compris !
je peux désormais construire en fermant les yeux !
je tiens vraiment à te remercier pour tout ce que tu m'as appris ! merci encore !

Posté par
Arkhnor
re : Construction matricielle du corps des nombres complexes 17-08-09 à 08:44

De rien.

A bientôt.

Posté par
Arkhnor
re : Construction matricielle du corps des nombres complexes 17-08-09 à 08:46

En relisant ce que j'ai écrit, j'ai commis une erreur, dans la définition de morphisme d'anneaux, la dernière condition est \varphi(1_A) = 1_B, celle que j'avais écrit n'a aucun sens bien sur ...

Posté par
Columbia
re : Construction matricielle du corps des nombres complexes 17-08-09 à 13:46

oui j'avais remarqué effectivement



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