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Convergence d'un produit

Posté par
mat-thieu 18-08-09 à 14:55

Salut à tous!
Voilà, j'ai déjà posté un problème du même genre il y a quelques temps.
Mais celui-ci me bloque encore... Je pense que j'ai pas encore trop l'habitude de manipuler les sommes et les produits.
Le voici :
on a , n1, v_n0
On considère le produit :  p_n=\prod_{k=1}^n (1+v_k) .

On définit la suite T_n de terme général : T_n=\sum_{k=1}^n v_k.

1) Montrer que si T_n converge, alors p_n converge aussi.
2) Montrer la réciproque.

Pour la première question, il faut utiliser le fait que ln(x+1)x , x strictmt positif.
Je suis parti sur la piste que si Tn converge, alors e^{T_n} converge aussi.
Mais après je vois pas trop quoi en faire, et en plus il y a ce "+1" dans le produit qui dérange un peu...

Merci d'avance =)

Posté par
thibleprire : Convergence d'un produit 18-08-09 à 15:02

Bonjour,
On sait que:
5$\textrm \forall x \in \mathbb{R}^+, log(1+x) \le x

Donc, tu pourrais montrer que:
5$\textrm \forall n \in \mathbb{N}, log(p_n) \le T_n

Posté par
mat-thieure : Convergence d'un produit 18-08-09 à 15:08

oki thib, merci je vais voir ce que je peux faire avec ça.
Petite question perso : tu peux te connecter sur msn stp? merci.

Posté par
thibleprire : Convergence d'un produit 18-08-09 à 15:11

Impossible à l'endroit où je suis. Mais tu dois certainement avoir d'autres moyens pour me contacter.

Tu me montres ta solution?

Posté par
mat-thieure : Convergence d'un produit 18-08-09 à 15:25

ln(p_n)=\sum_{k=1}^n (v_k+1)
Or, x de R+ , ln(x+1)x.
Donc :  \sum_{k=1}^n ln(u_k+1) \le \sum_{k=1}^n v_k.

Donc comme tu dis : ln(p_n) \le T_n.
Or, T_n converge. Donc comme ln(pn) croit et est majoré par une suite convergente, alors ça converge aussi. Donc p_n converge.

Ist es gut?

Posté par
thibleprire : Convergence d'un produit 18-08-09 à 15:31

Car x-> ln(x) est une fonction continue.
Ja wohl.

Posté par
mat-thieure : Convergence d'un produit 18-08-09 à 15:32

lol merci sergent thib's !

Posté par
mat-thieure : Convergence d'un produit 18-08-09 à 15:34

j'attaque la réciproque mais je pars dans 10 min alors pas sûr que je la poste.


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