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Convergence d'une série entière quand |z|=R

Posté par
zakijam 04-06-09 à 20:44

Bonsoir

Soit \Bigsum_{n=1}^\infty~\frac{n^n}{n!} z^n
J'ai calculé le rayon de convergence de cette série entière. J'ai trouvé:
\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!} \frac{n!}{n^n} = (\frac{n+1}{n})^n
\frac{1}{R}=\lim_{n\to +\infty}(n+\frac{1}{n})^n=e
Alors R=\frac{1}{e}
Alors la série converge normalement sur le disque ouvert D(0, \frac{1}{e})
Mais pour les nombres complexes de module |z|=\frac{1}{e}? Est-ce que la série diverge ou converge?
Comment étudier ce cas? En général quand |z|=R?

Merci

Posté par
gui_toure : Convergence d'une série entière quand |z|=R 04-06-09 à 20:49

Hello,

Je crois que tu t'es trompé dans le calcul du quotient, tu as zappé un 1/(n+1), du coup R=+oo.

Citation :
Comment étudier ce cas? En général quand |z|=R?


Bonne question. Dans le cas général on ne sait pas du tout ce qui se passe. On arrive à conclure pour certains termes généraux (genre 1/n²), et pour d'autres il peut se passer tout et n'importe quoi.

Souvent, on étudie le comportement aux bornes via un équivalent, une comparaison série-intégrale ou bien encore le critère spécial des séries alternées.

Sauf erreur

Posté par
amauryxiv2re : Convergence d'une série entière quand |z|=R 04-06-09 à 20:53

Il existe un equivallent connu de n! il me semble (je ne m'en souviens plus d'ailleurs, c'est du style (n/e)n). Mais peut-être est-ce une piste dont on peut tirer parti ...

Posté par
gui_toure : Convergence d'une série entière quand |z|=R 04-06-09 à 20:58

3$n!\ \sim\ \(\fr{n}{e}\)^n\sqrt{2\pi n} (la formule de Stirling )

Posté par
amauryxiv2re : Convergence d'une série entière quand |z|=R 04-06-09 à 21:00

Voilà j'ai retrouvé : n! (n/e)N.2n.

Donc pour z = 1/e.eit, tu te ramène à la convergence de la série eint/2n

JE dis pas que c'est facile, mais il est évident que ca diverge pour t = 0 [2] et que ca converge pour t = [2]

Pour le reste, je ne sais plus comment on fait ....

Posté par
zakijamre : Convergence d'une série entière quand |z|=R 04-06-09 à 21:00

J'ai refait le calcul, et je trouve le même résultat.
J'ai fait un typo: \lim_{n\to +\infty}(1+\frac{1}{n})^n=\lim_{n\to +\infty} e^{\frac{ln(1+\frac{1}{n})}{\frac{1}{n}}}=e
Merci, pour l'explication. Mais je voudrais voir un exemple. Comment traiter ce cas directement?
Moi je pose z=R e^{i\theta}, et ça ne me donne aucun résultat.

Posté par
gui_toure : Convergence d'une série entière quand |z|=R 04-06-09 à 21:02

n! / (n+1)! = 1/(n+1)

Posté par
zakijamre : Convergence d'une série entière quand |z|=R 04-06-09 à 21:06

\frac{n!}{(n+1)!} \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} = \frac{1}{n+1} \frac{(n+1)\times (n+1)^{n}}{n^n} = (\frac{n+1}{n})^n

Posté par
gui_toure : Convergence d'une série entière quand |z|=R 04-06-09 à 21:09

raa je suis bête. Ok R=1/e. Comme a dit amaury, un équivalent de n! sera très utilie pour discuter de ce qui se passe en -1/e et 1/e.

Posté par
zakijamre : Convergence d'une série entière quand |z|=R 04-06-09 à 21:15

Et dans le cas général? Quand R=1 par exemple.
4$\sum \frac{z^n}{n} et 4$\sum \frac{z^n}{n^2}
Comment on fait?

Posté par
gui_toure : Convergence d'une série entière quand |z|=R 04-06-09 à 21:33

pour 1/n : on peut poser 3$z=e^{in\theta avec 3$\theta\in[0,2\pi[. Cela revient à chercher la nature de 3$\Bigsum {4$\fr{e^{in\theta}}{n ; la méthode : transformation d'Abel. On trouve que la série converge seulement pour 3$\theta\in]0,2\pi[ ce qui est rassurant car on sait que la série harmonique diverge.

D'ailleurs, en dérivant la somme de la série entière 3$f(x)=\Bigsum_{n=1}^{+\infty}{4$\fr{e^{in\theta}}{n}x^n on peut calculer sa dérivée puis l'intégrer ; on trouve
3$\forall x\in]-1,1[,\;\forall \theta\in]0,2\pi[,\;f(x)=-\fr12\ell n(x^2-2x\cos\theta+1)\ +\ i\ \rm{Arctan}\(\fr{x-\cos\theta}{\sin\theta}\)\ +\ i\ \rm{Arctan}(\rm{cotan}\theta)

pour 1/n² : là pas de soucis, puisque pour z de module 1, on a 4$\fr{|z|}{n^2}=\fr{1}{n^2}. Donc pour tout z de module 1, 3$\Bigsum \fr{z^n}{n^2 converge absolument donc converge.


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