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Convergence de suites réelles

Posté par
babybelle
01-11-07 à 14:57

Bonjour,

J'aurais besoin d'un petit éclaircissement sur un exercice :

Soit (Un) une suite réelle, n
Montrer que si (U2n) et (U2n+1) convergent alors la suite (Un) est convergente
(indication : utiliser la définition de la convergence)

Suffit-il de dire que si (U2n) tend vers L et que (U2n+1) tend vers L', sachant que (U2n) et (U2n+1) sont des suites extraites de la suite réelle (Un), alors (Un) tend vers L" et L = L' = L" ?

Merci pour votre aide

Posté par
Rouliane
re : Convergence de suites réelles 01-11-07 à 15:01

Bonjour,

C'est pas si évident, il faut passer par les epsilon.

Posté par
Cauchy
re : Convergence de suites réelles 01-11-07 à 15:02

Bonjour,

non il ne suffit pas d'ailleurs c'est faux regarde u(n)=(-1)^n.

Posté par
Cauchy
re : Convergence de suites réelles 01-11-07 à 15:09

Salut Rouliane

Posté par
Rouliane
re : Convergence de suites réelles 01-11-07 à 15:15

Salut

Posté par
Cauchy
re : Convergence de suites réelles 01-11-07 à 15:17

Je suppose que babybelle a oublié de préciser que L=L'.

Posté par
babybelle
re : Convergence de suites réelles 02-11-07 à 14:06

passer par les epsilon c-à-dire passer par la définition de la convergence? (soit epsilon>0,N,n ,nN => l(Un)-Ll<epsilon)
et quelle est l'idée de démonstration à partir d'une telle démonstration?

merci d'avance

Posté par
Rouliane
re : Convergence de suites réelles 02-11-07 à 14:08

oui, c'est ça.
Ecrit la définition avec les epsilon pour U2p et U(2p+1)

Posté par
babybelle
re : Convergence de suites réelles 02-11-07 à 14:10

"définition" et non pas "démonstration" pour la fin de la question..

Posté par
Cauchy
re : Convergence de suites réelles 02-11-07 à 14:12

Tu as bien supposé que U2n et U(2n+1) convergent vers la même limite sinon tu y arriveras pas.

Posté par
Rouliane
re : Convergence de suites réelles 02-11-07 à 14:12

L'idée de la démonstration, c'est d'écrire la définition pour U2p et U2p+1.

En considérant ensuite la suite Un, on a n qui est pair ou impair, donc n qui vaut 2p ou 2p+1.
On trouve alors une condition sur n pour que la suite converge ( No=max(2po,2po+1)  )  

Posté par
babybelle
une ébauche de rédaction.. 03-11-07 à 16:15

on suppose que (U2n) et (U2n+1) on même limite L
dire que (U2n) converge revient à dire que   >0,N,n ,nN => l(U2n)-Ll</2
dire que (U2n+1) converge revient à dire que >0,N',n ,nN' => l(U2n+1)-Ll</2
or la suite (Un) admet des n pairs et impairs, donc on a pour tout nN" : (avec N"=max(N,N'))
l((U2n)-L)+((U2n+1)-L)ll(U2n)-Ll+l(U2n+1)-Ll
l(Un)-2Ll</2+/2
l(Un)-2Ll<
et donc  si (U2n) et (U2n+1) converge alors (Un) converge

c'est une de mes premières rédactions soyez indulgents..
et après doit-on le faire de façon réciproque?(on suppose que (Un) converge...)

merci

Posté par
Cauchy
re : Convergence de suites réelles 03-11-07 à 16:22

C'est l'idée cependant  on a pas vraiment la définition de la convergence de la suite U(n) dans ta conclusion vu que pour n>=N" tu considères que les termes de la forme 2n.

Ensuite je ne comprend pas ce que tu fais ici:

Citation :
l((U2n)-L)+((U2n+1)-L)ll(U2n)-Ll+l(U2n+1)-Ll



Tu montres que U(n) converge vers 2L? On a du U(2n) puis subitement du U(n) que c'est il passé?

Oui tu peux faire la réciproque, si une suite converge alors ses sous-suites de termes pairs et impairs convergent(plus généralement toutes ses sous-suites convergent).

P.S: d'ailleurs une question est-ce qu'une suite dont toutes les suites extraites propres(c'est à dire différentes de U(n)) convergent, converge-t-elle?

Posté par
babybelle
re : Convergence de suites réelles 03-11-07 à 17:33

pour ta citation il manque un "inférieur ou égal" , et je voulais utiliser l'inégalité triangulaire..

je pensais que si (Un) converge vers 2L alors (Un) converge..
je suis passé de U(2n) à U(n) par le fait que pour tout n appartenant à pour U(n) n est soit pair soit impair et donc U(n) revient à U(2n)+U(2n+1) et je remplace dans mon développement..

et je voulais savoir, qu'est-ce que tu entends par "on a pas vraiment la définition de la convergence de la suite U(n) dans ta conclusion vu que pour n>=N" tu considères que les termes de la forme 2n" ?

quand à ta dernière question elle suppose qu'il ne suffit pas que de prouver que si les suites extraites d'une même suite converge alors la suite en elle-même ne converge pas forcement..là est le problème! I'm lost...

Posté par
babybelle
re : Convergence de suites réelles 04-11-07 à 11:45

Une petite idée ?

Posté par
Cauchy
re : Convergence de suites réelles 04-11-07 à 22:31

On reprend si on a u(2n) et u(2n+1) qui convergent vers l, on veut montrer que u(n) converge l(cela semble raisonnable fais un dessin à partir d'un certain rang tous les termes pairs sont proches de l mais les impairs aussi donc tous les termes).

C'est cette phrase que tu dois traduire mathématiquement.

Pour ma dernière question, j'ai pas précisé qu'on considérait qu'elles convergent vers une même limite et j'ai pas donné la réponse

Ici u(2n) et u(2n+1) convergent vers une même limite et ça ca va impliquer la convergence de u(n).

Posté par
babybelle
re : Convergence de suites réelles 05-11-07 à 13:25

je vais méditer dessus,merci!

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