Bonjour

Il y a un peu de confusion dans les définitions.

Un anneau, commutatif ou pas dont tous les éléments sont inversibles, est un anneau sans diviseurs de 0. On appellait ceci un corps (gauche si non commutatif, commutatif si oui). La mode actuelle est de ne s'intéresser qu'aux corps commutatifs, de ne pas le préciser et de mettre "gauche" si on persiste à s'occupper de corps non commutatifs.

En revanche, à ma connaissance, un anneau intègre est un anneau commutatif sans diviseurs de 0. Donc commutatif et intègre est un pléonasme!

Alors, le mieux est de prendre pour définition:

Un corps est un anneau commutatif dont tous les éléments non nuls sont inversibles.

Proposotion: Un corps est un anneau intègre.

De manière générale, un corps n'est pas commutatif. Par exemple, l'algèbre des quaternions est un corps non commutatif. Dans le cas des corps finis, on est obligé de démontrer (th. de Wedderburn) que les corps finis sont tous commutatifs.
Dire qu'un corps est commutatif, c'est dire que sa multiplication est commutative. L'addition est dans un corps toujours commutative.

Cependant, dans la majorité des cas, les corps que l'on utilise sont commutatifs (réels, complexes, corps finis...) , surtout lorqu'on veut définir un espace vectoriel ou un anneau de polynomes...

Remarque : je ne sais pas s'il est nécessaire de supposer l'anneau intègre. Si tout élément non nul est inversible, supposons que xy=0, alors par multiplication par l'inverse de y à droite, on a x=0, donc l'anneau est obligatoirement intègre...

En voyant la réponse de Camélia, j'espère ne pas ajouter à la confusion... En fait, j'ai l'impression que la "définition" varie beaucoup suivant le sujet auquel on s'intéresse. Lorsqu'on travaille sur les espaces vectoriels, ou les anneaux de polynomes, on est sur un corps commutatif, et ça suffit largement. Pour d'autres sujets (les quaternions et les corps finis par exemple) il est intéressant de garder à la définition un cadre général.

Bonjour erio

Bien sur tu as raison, et quand j'étais jeune on disait "corps commutatif". Les anglais appellent ceci "field" et ce que nous appellions corps gauche, "domain". La francophonie étant ce qu'elle est, "corps" a fini par s'identifier avec "field"... et donc est devenu commutatif.

Toujours de mon temps, on précisait anneau unitaire, alors que maintenant c'est admis qu'il y a une unité!

Merci pour vos réponses.