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corps des nombres réels

Posté par draluom (invité) 11-10-05 à 18:48

J'ai deux exercices ou je comprend vraiment rien alors si quelqu'un pouvait m'aider ça serait très gentil.
Voici mes exercices :

Exercice 1 :

Soit f:[0;1][0;1] une application croissante et soit A={x[0;1] tels que xf(x)}
Soit a=sup(A)

a) Montrer que A est une partie non vide et majorée de .
b) Montrer que l'on a a[0;1].
c) Montrer que f(a) est un majorant de A. En déduire aA.
d) On Suppose a=1. Montrer que l'on a f(1)=1.
e) On suppose a[0;1[. Montrer que le nombre f(a) est un minorant de [a;1[.
En déduireque l'on a f(a)=a.


Exercice 2 :
Soit f: une fonction continue telle que f(0)=0. On suppose qu'il existe un nombre réel b>0 tel que f(b)0. Notons A l'ensemble des nombres réels x tels que xb et f(x)=0.

a) Montrer que A est un ensemble non vide et majoré.
Notons a la borne supérieure de A.
b) Montrer que l'on a f(a)=0
c) Montrer que l'on a a<b et que si x]a;b[, alors f(x)0.



D'avance merci

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re:corps des nombres réels 11-10-05 à 20:53

Bonjour draluom;
Exercice 1:
a)
(*) on a f(0)\ge0 donc 0\in A et par suite 2$\fbox{A\neq\empty}.
(*) on a A\subset[0,1] donc en particulier A est majorée (par 1 par exemple)
b) En général et par définition de la borne supérieure a d'une partie non vide majorée A de \mathbb{R},tout voisinage de a rencontre A donc en particulier la borne supérieure de A est dans l'adhérence de A (plus petit fermé contenant A) et comme [0,1] est un fermé qui contient A on a que 3$\fbox{a\in[0,1]}.
c)
vu que 2$\fbox{\forall x\in A\\x\le a} et que f est croissante sur [0,1] on a que 2$\fbox{\forall x\in A\\f(x)\le f(a)} et donc que 2$\fbox{\forall x\in A\\x\le f(a)} f(a) est donc un majorant de A et comme a est le plus petit des majorants de A(borne sup) alors 2$\fbox{a\le f(a)} c'est à dire que 3$\fbox{a\in A}.
d)
Si a=1 alors d'aprés c) on a 1\le f(1) et vu que f arrive dans [0,1] on a aussi f(1)\le1 donc 3$\blue\fbox{f(1)=1}.
e)
Supposons que a\in[0,1[ alors vu que a=sup A l'intervalle ]a,1[ ne rencontre pas A c'est à dire que 3$\fbox{\forall x\in]a,1[\\f(x)<x} et comme f est croissante on a aussi 3$\fbox{\forall x\in]a,1[\\f(a)\le f(x)<x} et donc que f(a) est un minorant de ]a,1[ et par conséquent plus petit que le plus grand des minorants de ]a,1[ qu'est a=inf(]a,1[) c'est à dire que 3$\fbox{f(a)\le a}
On conclut alors que 4$\blue\fbox{f(a)=a}.

Remarque:
Cet exercice est une démonstration du théorème suivant:
Si 3$\fbox{f{:}[0,1]\to[0,1]} est croissante alors l'équation 3$\fbox{f(x)=x} admet au moins une solution.

Sauf erreurs bien entendu

Posté par draluom (invité)re : corps des nombres réels 12-10-05 à 09:12

Merci beaucoup elhor_abdelali

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