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Coupe animaths 2016 éliminatoires
Bonjour,
Exercice 8 :
Quel est le plus grand entier qui divise tous les entiers de la forme a(a+2)(a+4) (a appartenant à N*) ?
J'aurais tendance à dire que le plus grand entier qui divise a (a+2) (a+4) est (a+4) tout simplement.
*** message déplacé ***
salut
peut-être distingué entre a pair et a impair ....
essayer avec des valeurs de a ...
n(a) = a(a + 2)(a + 4)
n(1) = 15
n(2) = 48
n(3) = 105
il semble que ce soit 3 ...
avec les congruences modulo 3 on trouve que 3 divise tous ces nombres
mais est ce le plus grand entier solution ?
Diviseurs de 1 * 3 * 5 : 1 3 5 15
Diviseurs de 2 * 4 * 6 : 1 2 3 4 6 8 12 24
1 est toujours diviseur de N = a(a+2)(a+4).
La question est donc de savoir si 3 est toujours diviseur de N.
Si a congru 0 modulo 3 : a est divisible par 3, donc N aussi
Si a congru 1 modulo 3 : a+2 est divisible par 3, donc N aussi
Si a congru 2 modulo 3 : a+4 est divisible par 3, donc N aussi
CQFD : le plus grand diviseur de tous les a(a+2)(a+4) est 3.
sans passer par les congruences ...
n(a) = a(a + 2)(a + 4) = (a + 2 - 2)(a + 2)(a + 2 + 2)
parmi trois entiers pairs (ou impairs) consécutifs il y a toujours un multiple de 3 ...
parmi trois entiers pairs (ou impairs) consécutifs il y a toujours un multiple de 3
... mais comment la prouves-tu au fait
?évidemment on sait que le produit de n entiers consécutifs est multiple de n (qui se démontre avec la division euclidienne par n par exemple)
2a = 2a
2a + 2 = 2(a + 1)
2a + 4 = 2(a + 2)
le produit de ces trois entiers est multiple du produit de trois entiers consécutifs a(a + 1)(a + 2) qui est lui-même multiple de 3 ...
soit n impair
(n - 2)n(n + 2) = n(n + 1)(n + 2) - 3n(n + 2) est multiple de 3 ...
bon encore plus simplet pour résumer le tout 
pour tout n :
n(n + 2)(n + 4) = n(n + 1)(n + 2) + 3 n(n + 2) ....
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