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Courbe de Bézier

Posté par
xAmel
07-04-10 à 14:45

Bonjour excusez moi de vous déranger mais j' ai un DM pour les vacances et je ne comprend absolument rien ! Avant de poster un nouveau topic, j' ai cherché si il n' existait pas, il y en a des similaires mais impossible à comprendre.

Mon DM portait sur une construction géogebra :
1) CONSTRUCTION
Dans l' ordre j' ai fait cela :
- construit 3 points A  B et c
- créée une variable t dans l' intervalle [0,1]
- créée les barycentres
G=bar((A,1-t),(B,t)) ,
H=bar((B,1-t),(C,t))
et M=bar((G,1-t),(H,t))
- créée les segment [AB], [BC] et [GH]
- puis j' ai fait varier t dans l' intervalle [0,1]

Ensuite, on me demande une conjecture. En classe, nous avons donné cette conjecture :
Il semble que ce soit un bout de parabole

2) DÉMONSTRATION DANS UN CAS PARTICULIER

a ) déplacer les 3 points de départs tel que  A(-3/2,0) , B(-1/2,16) et C(1/2,0)
b) conjecturer une équation de la courbe obtenue
c) déterminer les coordonnées de M en fonction de t puis vérifier la conjecture
d) déterminer le rôle des droites (AB) et (BC)


Je vais essayer de joindre quelque étape de ma construction

Je suis désolé de balancer ca comme cela mais vraiment je suis perdu je comprend pas du tout.
Je vous remercie vraiment beaucoup si vous pouvez m' accorder un peu de votre temps pour m' aider si ca dérange personne.

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
re : Courbe de Bézier 07-04-10 à 22:38

Bonsoir,

Il faut commencer par écrire les coordonnées de G et H.
xG=-(3/2)(1-t)-t/2
yG=16t
xH=-(1/2)(1-t)+t/2
yH=16(1-t)

Une fois ces expressions simplifiées, on écrit les coordonnées de M
xM=(1-t)xG+txH
yM=(1-t)yG+tyxH

En développant, on trouve l'équation d'une parabole.

Posté par
xAmel
re : Courbe de Bézier 08-04-10 à 20:36

Vraiment désolé j' avais pas vu que quelqu' un m' avais répondu je suis nouvelle j' ai encore du mal. Merci de m' avoir répondu, je vais étudier ce que vous m' avez envoyé et je vous redit si je trouve la solution. Merci beaucoup en tout cas

Posté par
xAmel
re : Courbe de Bézier 09-04-10 à 17:19

Bonjour . Je suis débordé de devoirs je viens de faire ce que vous m' avez indiquer , j' ai  simplifié les coordonnées de G et H, mais je sais pas si j' ai bon, car lorsque, par exemple il y avait 16 en facteur, j' ai développé .. au final j' ai :
xG=-3/2 + t
yG= 16t
xH=t/2
yH=16 - t

donc les coordonnées de M donne :
x M = (1-t)(-3/2+t) + t(t/2)
    = -3/2 + t  + 3t/2 -t²  + t²/2
    = -3/2 + 2t/2 + 3t/2 - 2t²/2 + t²/2
    =-3/2 +5t/2 - t²/2

y M = (1-t)16t + t(16-t)
    = 16t - 16t² + 16 - t²
    = 16t - 17t² + 16

Voilà ! J' ai bon déjà ?
Ensuite pour trouver l' equation il faut que je résolve ( je ne sais pas si ca ce dit ainsi .. ) une equation a 2 inconnues..

y=ax+b
16t-17t²+16 = a(  -3/2 + 5t / 2 - t² / 2 ) + b

Hmm .. je bloque

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
re : Courbe de Bézier 09-04-10 à 18:58

Personnellement, j'ai trouvé xH=t-1/2 et yH=16(1-t)

Posté par
xAmel
re : Courbe de Bézier 09-04-10 à 20:46

Oui en effet  je trouve -1/2 + t donc c 'est bon. Je refais les calculs.
Mais en faite, comment avec les coordonnées ont peut trouver l' equation ?

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
re : Courbe de Bézier 09-04-10 à 20:48

En exprimant t en fonction de xM, on peut ensuite trouver une relation entre xM et yM

Posté par
xAmel
re : Courbe de Bézier 09-04-10 à 20:53

J' ai calculé les coordonnées de M ce qui me donne
xM = -3/2 + 4t/2
yM = 32t-32t² ( étrange non ? )

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
re : Courbe de Bézier 09-04-10 à 20:56

J'ai trouvé la même chose

Il reste à écrire t=(xM+3/2)/2 et à le remplacer dans l'expression de yM

Ensuite, il faut transformer l'équation pour faire apparaitre l'équation d'une parabole sous la forme y=ax²+b

Posté par
xAmel
re : Courbe de Bézier 09-04-10 à 20:59

Un système en fait?
Je le fais =)

Posté par
xAmel
re : Courbe de Bézier 09-04-10 à 21:07

Voilà, alors je trouve t = (2xM + 3 )  /  4
et donc yM = 32((2xM + 3) / 4 )  -  32 ((2xM + 3) / 4)²

Je suis ennuyeuse mais je n' arrive pas à developper pour yM

Posté par
xAmel
re : Courbe de Bézier 09-04-10 à 21:09

le carré me dérange

Posté par
xAmel
re : Courbe de Bézier 09-04-10 à 21:12

Je dois me tromper je trouve un résultat énorme !!
yM = (256xM + 672 - 128 xM ² )   /  16

Posté par
xAmel
re : Courbe de Bézier 09-04-10 à 21:25

Dsl si je vous ennuie je comprendrai j' ai un peu de mal avec les maths..

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
re : Courbe de Bézier 10-04-10 à 12:29

Bonjour,

Tu ne m'ennuies pas, rassure-toi
J'ai dû m'absenter hier soir.

Voici ce que j'ai trouvé
3$t=\frac{x_M+\frac{3}{2}}{2}
3$y_M=32t(1-t)=16(x_M+\frac{3}{2})(\frac{1}{4}-\frac{x_M}{2})
3$y_M=8(-x_M^2-x_M+\frac{3}{4})=-8(x_M^2+x_M-\frac{3}{4})=-8((x_M+\frac{1}{2})^2-1)

Finalement, on obtient 3$y_M=-8(x_M+\frac{1}{2})^2+8

Il s'agit bien d'une parabole de sommet (-1/2;8) et tournée vers le bas.

Posté par
xAmel
re : Courbe de Bézier 10-04-10 à 14:20

Pour t, je trouve pareil sauf que ensuite j' ai multiplié par l' inverse, mais bon ce n' etait pas necessaire.
Pourquoi 32t(1-t) on ne le developpe pas en 32t-32t²? ce n' est pas plus simple ?

Posté par
xAmel
re : Courbe de Bézier 10-04-10 à 14:23

je ne comprend pas cette partie la : (1/4 - xM/2 ) ? ni la suite d' ailleurs . Je vais essayer de comprendre

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
re : Courbe de Bézier 10-04-10 à 19:31

Je n'ai pas développé 32t(1-t) parce que les calculs sont plus compliqués que si on remplace directement t et 1-t par leurs expressions en fonction de xM

3$t=\frac{x_M+\frac{3}{2}}{2}
donc 3$1-t=1-\frac{x_M+\frac{3}{2}}{2}=1-\frac{3}{4}-\frac{x_M}{2}=\frac{1}{4}-\frac{x_M}{2}

Posté par
xAmel
re : Courbe de Bézier 11-04-10 à 11:26

Ahh d' accord !! Je comprenais pas ! Merci beaucoup. Donc la on a prouver la question 3 ? Je vais essayer de tout refaire toute seule sans regarder le forum !
Merci énormement énormement !

Posté par
xAmel
re : Courbe de Bézier 11-04-10 à 11:32

Ensuite il faut prouver que (AB) et (BC) sont des tangentes. Je vais essayer, il faut utiliser les dérivés je pense. Je vais essayer toute seule je vous dis si je n' y arrive pas , enfin si cela ne vous dérange psa ?

Posté par
xAmel
re : Courbe de Bézier 11-04-10 à 13:15

En développant l' equation, je suis arrivée à une equation du seconde degré : -8x²-8x + 6
Je vais déterminer sa dérivée

Posté par
xAmel
re : Courbe de Bézier 11-04-10 à 13:17

f(x)=-8x²-8x+6 >> f'(x) = -8(2x)-8 = -16x-8 .
Je ne sais pas ce que je dois en faire ...

Posté par
xAmel
re : Courbe de Bézier 11-04-10 à 13:32

Je pense que vous vous êtes trompé... la parabole est tournée vers le haut plutôt non ? Et comment savez vous que le sommet est au point  (-1/2;8) ?

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
re : Courbe de Bézier 11-04-10 à 13:39

Bonjour xAmel,

Non, il n'y a pas d'erreur (voir la courbe ci-dessous).

A partir de f'(x), on peut écrire les équations des tangentes aux points A et C grâce à la formule (à connaitre par coeur) y=f'(a)(x-a)+f(a) où a représente l'abscisse du point où s'applique la tangente.

Une fois que tu auras déterminé les équations des tangentes en A et en C, il faut montrer que B appartient à ces deux droites.

Courbe de Bézier

Posté par
xAmel
re : Courbe de Bézier 11-04-10 à 13:46

ah oui en effet j' avais celle ci je pensais que tournée vers le bas voulais dire l' inverse ! Merci !
Je vais étudier ce que vous m' avez dit !
1000 mercis !!

Posté par
xAmel
re : Courbe de Bézier 11-04-10 à 13:50

Juste une simple question, a c' est - 3/2 et 1/2 ? on a pas besoin de le démontrer ?
et pourriez vous me dire comment avez vous détemriner le point du sommet de la parabole ? Juste pour moi, pour que je le sache pour une prochaine fois ?

Posté par
xAmel
re : Courbe de Bézier 11-04-10 à 14:00

Voilà, l' equation de la tangente en A est : y = 16x + 24
       "           "            " en B est : y = -16x + 8

Ensuite je dois faire : 16 = 16 * -1/2 + 24
                        16 = -16 * -1/2 + 8  ?

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
re : Courbe de Bézier 11-04-10 à 14:05

Oui c'est bien ça

Posté par
xAmel
re : Courbe de Bézier 11-04-10 à 14:18

Merci ! et en faisant sa sa prouve que AB et BC sont tangentes à la parabole ?

Posté par
xAmel
re : Courbe de Bézier 11-04-10 à 14:20

les deux donne une équaiton nulle

Posté par
xAmel
re : Courbe de Bézier 11-04-10 à 14:23

donnent*

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
re : Courbe de Bézier 11-04-10 à 14:55

Plutôt que d'arriver à 0=0, il vaut mieux remplacer x par -1/2 dans chaque équation et trouver que y=16, ce qui permet de dire que le point B(-1/2;16) appartient à chacune des 2 droites.

Puisque A appartient déjà à la tangente en A (par définition), le fait de montrer que B appartient aussi à cette tangente montre que la droite (AB) est la tangente (puisqu'une droite est définie par 2 points).
Pareil pour (BC)

Posté par
xAmel
re : Courbe de Bézier 11-04-10 à 14:57

d' accord !! Donc finalement c' est tout ?

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
re : Courbe de Bézier 11-04-10 à 15:01

Oui, c'est fini. Tu peux aller profiter du beau temps (j'espère qu'il y en a chez toi).
Moi, c'est ce que je vais faire.

Bon dimanche !

Posté par
xAmel
re : Courbe de Bézier 11-04-10 à 15:02

Oui il fait vraiment beau !
Merci énormement !! Vous savez pas à quel point vous m' enlevez un poid ! Merci de m' avoir accorder de votre temps !

Bonne journée à la prochaine et merci

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