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Critères d'irréductibilité de polynomes
Bonjour à tous,
je m'entraine sur des exercices à propos de l'irréductibilité de polynomes. Malheureusement, je n'ai pas de correction et c'est pourquoi je fais appel aux mathiliens. C'est une notion que j'ai du mal à assimiler. Si vous pouvez me proposer d'autres exercices de ce type, je ne suis pas contre non plus.
Merci d'avance.
Question de cours : quels sont les éléments irréductibles de l'anneau des polynomes A[X] lorsque A est factoriel de corps de fraction K.
Rép : les irréductibles de A et les polynomes de contenu 1 irréductibles dans K[X] (n'hésitez pas à me reprendre si c'est faux ou pas assez rigoureux)
Les polynomes suivants sont ils irrésuctibles ?
a) X8+Y7+1 dans le corps K[X,Y]
b) 14X10-21 dans Z[X] ? dans Q[X] ?
c) X4-X3-1 dans
d) X4-5X3+12X2-2X-1 dans Z[X]
Mes réponses : a) Oui : en appliquant le critère d'eisenstein avec Y[/sup]-1 (qui est irréductible), il divise Y[sup]7+1 (car Y7+1=(Y-1)*polynome cyclotomique) et (Y-1)² ne le divise pas
b) Non car il est de contenu 7
c) Je n'ai pas réussi à conclure : je pense que si c'était réductible, ce serait par 2 polynomes de degré 2 (car s'il y avait un polynome de degré 1 dans la décomposition en produit d'irréductibles, il y aurait une racine. Or, 0 et 1 ne sont pas racines).
d) en réduisant mod 2, on retombe sur le polynome précédent donc même conclusion, encore faut-il la connaitre 
Voilà, si vous pouviez me corriger ceci et éventuellement m'en proposer d'autres, je serais preneur.
Merci pour votre patience 
Manu 
Salut
b) Ok pour le fait que ça soit pas irréductible dans Z[X] mais pour Q[X] ?
c) Ben c'est pas comme si yavait beaucoup de vérifs à faire... Il y en a 16 seulement, voire moins vu que sinon on répète des calculs.
d) Non, même conclusion si le précédent s'avère être irréductible, sinon faut sortir le crayon et la papier (les papiers ici seraient une expression plus adéquate ).
b) excuse moi Schumi, eh bien je dirais que oui car Q est le corps de fraction de Z et que Eisenstein avec 3 marche.
Et pour le a), tu en penses quoi ? Je vois que ça s'est mal passé avec le latex : alors je la refais :
a) : Critère d'eisenstein avec Y-1 : Y-1 divise Y7+1 car Y7+1=(Y-1)*(polynôme cyclotomique d'ordre 6). Et (y-1)² ne divise pas Y7+1 donc ça marche
Sinon c) et d) : Si X4-X3-1 se décomposait en 2 polynomes de degré 2 : X4-X3-1= (X²+pX+q)(X²+p'X+q').
En développant et identifiant: qq'=-1, p+p'=-1, q+q'+pp'=0, pq'+qp'=0 et là faut que j'essaie de montrer que y en a une des 4 variables qui n'est pas dans Z/2Z ? (j'aimerais bien que ce soit irréductible en fait pour pouvoir utiliser le c pour faire le d)
Merci pour ta réponse
Manu
Je vois que j'ai écrit une bêtise pour la a) : la racine est -1 et non 1. Mais ça ne change rien à la conclusion, il faut appliquer eisenstein avec Y+1 pour que ça marche (qui est irréductible car de degré 1)
b) Ok d'accord, c'est bien irréductible sur Q.
Pour la a), je dirai ok mais je préférerai qu'un type sérieux du forum confirme.
Pour la c)
Dans Z/2Z, -1 a quand même la bonne idée d'être égale à 1.
Donc ton truc, tu dois avoir:
qq'= 1 ( dans Z/2Z ça impose q=q'=1)
p+p'=1
q+q'+pp'=0 <==> pp'=0. D'où p ou p' nul (ou exclusif car la somme vaut 1).
Je te laisse continuer. On arrive évidemment au fait que ton polynôme est irréductible.
En reprenant ton raisonnement :
Si le polynome est réductible : X^4-X^3-1=(X²-X+1)(X²+1) ceci étant faux car le terme en X ne part pas, donc il est irréductible. génial
En résumé, (juste pour une question de méthode) pour voir si un polynome est irréductible (en général), on tente d'abord eisenstein, ensuite une réduction modulo un irréductible des coeffs et si ça marche pas, on tente la méthode "brutale" en essayant de décomposer, en développant et en identifiant.
Y a-t-il d'autres méthodes ou astuces à connaître ?
Merci Schumi.
Manu
En résumé, (juste pour une question de méthode) pour voir si un polynome est irréductible (en général), on tente d'abord eisenstein, ensuite une réduction modulo un irréductible des coeffs et si ça marche pas, on tente la méthode "brutale" en essayant de décomposer, en développant et en identifiant. >> C'est en gros ce que je fais d'une manière générale. Après ya toujours des cas particuliers où une stûce bien rodée trivialise tout...
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