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Niveau école ingénieur
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Décomposition d'un polynome

Posté par
Jejos
29-09-09 à 18:50

Bonjour à tous. j'ai deux petites questions à vous poser que je n'arrive pas à résoudre.

     Tout d'abord, prenons comme exemple la fonction rationnelle 5$F(x)=\frac{1}{(x+1)(x^2-1)} ,     x
qui se décompose en : 5$F(x)=\frac{a}{(x+1)^2}+\frac{b}{(x+1)}+\frac{c}{(x-1)}
nous avons vu en cours une méthode consistant à multiplier F(x) par (x+1)² puis prendre x=-1 pour obtenir a.
on obtient donc 5$F(x)\times (x+1)^2=\frac{1}{(x-1)}=a+b(x+1)+\frac{c(x+1)^2}{(x-1)}
Et si on prend x=-1 on obtient a=-1/2
Cependant pour x=-1, F(x) n'est pas définie à cause de la division par 0. Le calcul précédent revient donc à multiplier F(x) par zéro pour simplifier la division par zéro. Ce qui ne semble pas correct.
Pouvez vous m'éclaircir ??
     Deuxième chose, je n'arrive pas à factoriser sur le polynôme suivant :  5$P(x)=x^4+x^3+x^2+x+1       Normalement on doit pouvoir le simplifier sous la forme d'un produit de deux polynômes irréductibles de degré 2. j'ai essayé mais je trouve que c'est impossible avec des rationnels. C'est normal ou je me suis trompé ?

Merci de m'avoir lu, bonne soirée !

Posté par
MatheuxMatou
re : Décomposition d'un polynome 29-09-09 à 18:51

Citation :
Cependant pour x=-1, F(x) n'est pas définie à cause de la division par 0


plutôt que de prendre x=-1, fais simplement tendre x vers -1...

Posté par
Jejos
re : Décomposition d'un polynome 29-09-09 à 18:54

Ah d'accord merci je n'y avait pas pensé. C'est beaucoup plus clair maintenant.
Merci

Posté par
MatheuxMatou
re : Décomposition d'un polynome 29-09-09 à 18:57

Citation :
C'est normal ou je me suis trompé ?


c'est normal... ce ne sont pas des rationnels...

il faut chercher les racines complexes dans un premier temps.

Il y en a 4 conjuguées deux à deux

on factorise en facteurs du type (X-racine)

puis on regroupe les facteurs deux par deux en utilisant le fait que (X-a)(X-conjugué(a)) est du second degré à coefficients réels

pour résoudre P(X)=0,

on remarque que cela revient au même que X²+X+1+1/X+1/X²=0

et on fait le changement Y = X + 1/X (*)
Y² = X² + 1/X² + 2
et ton équation devient : Y² + Y - 1 = 0
cela te donne deux solutions en Y
chacune d'entre elle te donnera deux solutions en X en reportant dans (*)

bon courage à toi

MM

Posté par
MatheuxMatou
re : Décomposition d'un polynome 29-09-09 à 19:02

je suis en train de me dire qu'il est inutile d'avoir les racines complexes !

les deux solutions en Y sont réelles : Y1 et Y2

et P(X)=X²(Y² + Y - 1) = X² (Y - Y1)(Y - Y2) = X²(X + 1/X - Y1)(X + 1/X - Y2) = (X² - Y1 X + 1)(X² - Y2 X + 1)

la voici ta factorisation

Posté par
Jejos
re : Décomposition d'un polynome 29-09-09 à 19:11

J'ai bien compris la méthode, merci de l'éclaircissement et bravo pour cette efficacité.
je trouve donc au final : P(x)=(x²-x(-1+5)/2+1)(x²-(-1-5)/2+1)
Merci de l'aide, bonne soirée

Posté par
MatheuxMatou
re : Décomposition d'un polynome 29-09-09 à 19:12

pas de quoi, ce fut un plaisir

MM



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