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Décomposition de Dunford et Jordan

Posté par
fade2black
04-01-08 à 18:48

Hello,
j'ai pas mal de mal à comprendre comment marchent les décompositions de Dunford et Jordan, et je manque d'exemple concret ; j'arrive pas à en trouver sur Internet. Est-ce que quelqu'un pourrait me donner un lien vers un exo corrigé concret (donner la décomposition de telle ou telle matrice), ou bien vers une méthode simple à comprendre ?
Merci beaucoup !

Posté par
Rodrigo
re : Décomposition de Dunford et Jordan 04-01-08 à 18:56

Bonjour,
Décomposition Dunford c'est la décompostion D+N sur un corps algébriquement clos c'est ça? (ou au moins pour un endomorphisme scindé)

Tu te donnes un endomorphisme f et tu cherches à l'écrire sous la forme f=d+n, ou d et n commutent.
C'est pas tres compliuqué en regardnat par exemple le polynome minimal (mais un annulateur suffit)
Tu as E qui s'ecrit comme somme directe de ker((f-\lambda_i)^{n_i}) ces sous espace étant stables il te suffit de regarder la restriction de f a l'un des ces sous espaces et là c'est tres simple puisuqe f s'ecrit f=\lambda_i 1+(f-\lambda_i) ce qui est bien un diagonal plus un nilpotent qui commute, en travaillant un peu plus on peut prouver que la décomposition est unique.

La décomposition de jordan consiste a mettre l'endomrophisme nilpotent sous la forme qu'on attend, a savoir sa restriction a chacun des sous espaces de tout alors se mettra sous la forme d'une matrice avec des 1 sur la sur diagonnales.

Posté par
fade2black
re : Décomposition de Dunford et Jordan 04-01-08 à 19:13

Ok pour Dunford. Imaginons que j'ai réussi à décomposer f en D+N. Comment faire pour trouver une base où N peut s'écrire sous une forme de Jordan ? Existe t-il en endroit où je puisse trouver une méthode générale et un exemple concret ? Merci en tout cas Rodrigo pour tes éclaircissements !

Posté par
fade2black
re : Décomposition de Dunford et Jordan 04-01-08 à 19:19

Par exemple, j'ai la matrice suivante :
-3 5 -1 -1
-3 5 -1  0
0 1  0  2
1 -1 0  2

Son polynome caractéristique est (X-1)^4

D'ou f=I4+N avec N ci dessous :
-2 5 -1 -1
-3 4 -1  0
0 1 -1  2
1 -1 0  1

Comment mettre N sous forme de Jordan ?

Posté par
Rodrigo
re : Décomposition de Dunford et Jordan 04-01-08 à 19:20

Pour la reductionj de Jordan il est necessaire de travailler avec le minimal comme la dimension des espaces E_i (qui sont les noyaux de tout à l'heure ) correspondent pile poil à la multiplicité de la valeur propre dans le polynome minimal l'endomorphisme nilpotent se met bien sous la forme désire dans une bonne bas (c'est a dire tu prend un x tel qur f^{n-1}(x) est non nul et alors la base voulue est x,f(x),...,f^{n-1}(x))

Posté par
fade2black
re : Décomposition de Dunford et Jordan 04-01-08 à 19:21

Ha pardon, une erreur :

N est en fait la matrice suivante :
-4 5 -1 -1
-3 4 -1  0
0 1 -1  2
1 -1 0  1

Posté par
Rodrigo
re : Décomposition de Dunford et Jordan 04-01-08 à 19:23

Ben calcule N^3 et trouve un vecteur qui n'est pas dans son noyau...

Posté par
fade2black
re : Décomposition de Dunford et Jordan 04-01-08 à 19:24

Citation :
comme la dimension des espaces E_i (qui sont les noyaux de tout à l'heure ) correspondent pile poil à la multiplicité de la valeur propre dans le polynome minimal


C'est vrai ça ? Il me semblait que la dimension du sous espace caractéristique Ei était égale à la multilplicité de la valeur propre associée dans le polynome CARACTERISTIQUE. Si c'était la multiplicité dans le polynome minimale, comme E est somme directe des sous espace, on aurait que la somme des multiplicités des valeurs propres dans le polynome minimal (et donc le degré du polynome minimal) serait égal à la dimension de E ; ce qui n'est pas vrai en général...

Posté par
Rodrigo
re : Décomposition de Dunford et Jordan 04-01-08 à 19:28

Je te parle des espace Ei de jordans pas des sous espaces carracteristiques (mais effectivement en me relisant c'est pas clair), ou tu as raison c'est la multiplicité dnas la polynome carrcatreristique qui est égal a la dimension du ss esp carractéritique, par contre c'est la multiplicité dans le polynome minimal qui te donne l'indice de nilpotence de N

Posté par
fade2black
re : Décomposition de Dunford et Jordan 04-01-08 à 19:30

C'est quoi la différence entre sous espace caractéristique et espace de Jordan ? Désolé si ces questions te paraissent idiotes mais on a vu ça en cours à la vitesse éclair et il ne me semble pas avoir entendu parlé d'espace de Jordan...

Posté par
Rodrigo
re : Décomposition de Dunford et Jordan 04-01-08 à 19:32

Ben dans ton sous espace carractéristique tu as une parie ou l'endomorphime est diagonalisable (le sous espace propre) et une partie ou il ne l'est pas (tu vois ce que je veux dire) son supplémentaire quoi... c'est ce sous espace la que j'appelle espace de jordan...

Posté par
fade2black
re : Décomposition de Dunford et Jordan 04-01-08 à 19:33

C'est quoi en fait tes "ni" dans ton premier post ?

Posté par
Rodrigo
re : Décomposition de Dunford et Jordan 04-01-08 à 19:35

Ce sont des endomorphismes nilpotent ils se mettrons sous la forme surdiag(0,..0,1,..,1), dans une bonne décomposition de l'espace (Jordan+Propre quoi...)

Posté par
fade2black
re : Décomposition de Dunford et Jordan 04-01-08 à 19:38

OK donc grosso modo : pour écrire une matrice sous sa forme de Jordan, on commence par chercher son ploynome caractéristique. On trouve alors les sous espaces caractéristiques et leurs dimensions, ce qui permet d'écrirenotre matrice comme une matrice "diagonale par blocs", avec des blocs de dimension égale aux dimensions des différents sous espaces caractéristiques.
Chaque bloc est égal à la somme d'une matrice diagonale Di de d'une matrice nilpotente Ni ; on obtient alors le fameux N et D de Dunford en "recollant" ces blocs.
Pour avoir la forme de Jordan, il suffit alors de considérer chaque bloc, de mettre la matrice Ni sous forme de Jordan (avec les 1 en diagonale supérieure) avec la méthode que tu m'as donnée ? reprend moi si je dis des bêtises

Posté par
Rodrigo
re : Décomposition de Dunford et Jordan 04-01-08 à 19:41

Ben il faut quand meme regrader le polynome minimal pour avoir l'indice de nilpotence car dans les "blocs de Dunford" ton nilpotent n'aura pas que des 1 sur la surdiagonale il en aura un de moins que l'exposant qui correspond dans le polynome minimal...le reste c'est des zeros...mais sinon c'est ça...

Posté par
fade2black
re : Décomposition de Dunford et Jordan 04-01-08 à 20:04

Bon on va essayer sur un exemple.
f un endomorphisme de R^3 qu'on représente par la matrice :

0 2  0
1 1 -1
2 0 -1

Polynome caractéristique : (X-1)²(X-2)

Sous espaces caractéristiques : E1=Ker((f-Id)²) de dimension 2 et E2=Ker(f-2*Id) de dimension 1.

Sur E1, f=Id+N1 et sur E2, f=Id+N2

Que me donne la décomposition de Dunford ?

Il faut trouver une base de E1 et de E2 ?

Posté par
Rodrigo
re : Décomposition de Dunford et Jordan 04-01-08 à 20:06

OUi il faut trouver une base adaptée a la somme directe E1+E2

Posté par
Rodrigo
re : Décomposition de Dunford et Jordan 04-01-08 à 20:09

Dans cette base ton endomorphisme s'ecrira (reduction de jordan ) soit
\begin{matrix}
 \\ 1 && 1 &&0\\
 \\ 0&& 1 && 0 \\
 \\  0&& 0&&2
 \\ \end{matrix}
soit
\begin{matrix}
 \\ 1 && 0 &&0\\
 \\ 0&& 1 && 0 \\
 \\  0&& 0&&2
 \\ \end{matrix}

Pour savoir si ce sera l'une ou l'autre il te faut regarder le polynome minimal (ou ce qui revient au même la dimesnion du sous espace propre)

Posté par
fade2black
re : Décomposition de Dunford et Jordan 04-01-08 à 20:18

OK j'ai une base de E1 : (2,3,0) et (0,1,-1) et une base de E2 : (2,1,2)

Posté par
fade2black
re : Décomposition de Dunford et Jordan 04-01-08 à 20:21

Attend je fais quoi quand j'ai ma base ?

Posté par
Rodrigo
re : Décomposition de Dunford et Jordan 04-01-08 à 20:24

As tu calculé le polynome minimal (le calcul de la base te donne uniquement la matrice de passage)

Posté par
fade2black
re : Décomposition de Dunford et Jordan 04-01-08 à 20:25

Oui le polynome minimal est egal au polynome caractéristique et donc à (X-1)²(X-2)

Posté par
Rodrigo
re : Décomposition de Dunford et Jordan 04-01-08 à 20:29

Donc c'est que ta matrice n'est pas diagonalisable et se met sous la première forme.
De façon plus precise f restreint à E1 (donnes en un exporession matricielle au besoin) s'ecrit sous la forme Id+n. Pour trouver la base de Jordan, il ne te reste plus qu'a trouver un vecteur x0 dans E1 tel que n(x0) soit non nul, alors la famille x0,n(x0) te donne les deux premier vecteurs de ta base prend ensuite un vecteur de E2 et tu auras ta base de jordan.

Posté par
fade2black
re : Décomposition de Dunford et Jordan 04-01-08 à 20:37

Imagine que mon polynome caractéristique soit (X-1)²(X-2)²
Ma matrice pourrait donc être égale à

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 2 0       si le poly minimal est (X-1)(X-2)
0 0 0 2

1 1 0 0
0 1 0 0
0 0 2 0      si le poly minimal est (X-1)²(X-2)
0 0 0 2

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 2 1      si le poly minimal est (X-1)(X-2)²
0 0 0 2

1 1 0 0
0 1 0 0
0 0 2 1     si le poly minimal est (X-1)²(X-2)²
0 0 0 2

C'est ça ? Il y a pas d'autres cas ?

Posté par
Rodrigo
re : Décomposition de Dunford et Jordan 04-01-08 à 20:43

Non pas d'autres cas...

Posté par
fade2black
re : Décomposition de Dunford et Jordan 04-01-08 à 20:45

Ok, pas d'autres cas, et ce que j'ai écris est bon ? Chaque matrice correspojnd au bon polynome minimal ?

Posté par
Rodrigo
re : Décomposition de Dunford et Jordan 04-01-08 à 20:45

Oui, oui...

Posté par
fade2black
re : Décomposition de Dunford et Jordan 04-01-08 à 20:51

Sinon pour revenir à mon précédent exemple (matrice en taille 3), il faut que je trouve une base de E1 (resp de E2), que j'exprime la restriction de f sur E1 (resp. de f sur E2) dans la base trouvée, j'écris ensuite que la restriction de f sur E1 (resp. sur E2) est égale à Id+N1 (resp 2Id + N2) et que donc N1=f-Id (resp N2=f-2ID). On a donc N1 et N2. Comme E1 est de dimension 2, il faut que je trouve un vecteur x0 tel que N1(x0) est non nul, et (x0,N(x0)) est une base de Jordan. Comme E2 est de dimension 1, il suffit de prendre un vecteur de E2 pour avoir une base de Jordan. Je recolle mes deux bases et j'ai MA base de Jordan et donc ma matrice de passage. Il faut ensuite que je calcule le polynome minimal de ma matrice. Chaque valeur propre aura une multiplicité plus faible dans le polynome minimal que dans le polynome caractéristique. Si toutes les multiplicités restent les mêmes, on met des 1 partout sur la diagonale supérieure. Si la multiplicité baisse de 1 pour une racine donnée, on met un zero sur la diagonale supérieure du bloc correspondant. Si la multiplicité baisse de 2 pour une racine donnée, on met deux zero sur la diagonale supérieure du bloc correspondant etc. Tout ce que j'ai dit est juste ? Si oui alors c'est fini, j'arrête de t'embêter ! Quoi qu'il en soit merci beaucoup pour tout ce temsp passé à me répondre !

Posté par
Rodrigo
re : Décomposition de Dunford et Jordan 04-01-08 à 20:56

Non, non tu fais ca dans le desordre...
En gros soit tu veux uniquement la matrice sous forme reduite et alors tu te contente d regarder le polynome minimal et le polynome carracteristique. et ca te donne la réponse à priori sans avoir a calucler des bases...

Si en plus tu veux la matrice de passage alors tu calcules tes En et pour chaque Ei tu décompose f restreinte a Ei en d+n (comme tu l'as dit). En suite pour trouver la bonne base tu cherches l'indice de nilpotence de f (grace au polynome minimal de f) qui est disons m, tu cherches alors x0 tel qur f^{m-1}(x0) non nul.
Alors x0,f(x0),...f^{m-1}(x0) et les vecteurs propres te donnent la base voulue

Posté par
fade2black
re : Décomposition de Dunford et Jordan 04-01-08 à 21:01

Citation :
En gros soit tu veux uniquement la matrice sous forme reduite et alors tu te contente d regarder le polynome minimal et le polynome carracteristique


Donc quand j'ai ma matrice, je calcule le polynome minimal, le polynome caractéristique, et en voyant les différences de multiplicité des racines entre ces deux polynomes, je trouve la tête qu'à ma matrice de Jordan, en faisant comme j'ai marqué :
"Chaque valeur propre aura une multiplicité plus faible dans le polynome minimal que dans le polynome caractéristique. Si toutes les multiplicités restent les mêmes, on met des 1 partout sur la diagonale supérieure. Si la multiplicité baisse de 1 pour une racine donnée, on met un zero sur la diagonale supérieure du bloc correspondant. Si la multiplicité baisse de 2 pour une racine donnée, on met deux zero sur la diagonale supérieure du bloc correspondant etc."

Et pas besoin de calculs de base. C'est juste jusque là alors ?

Posté par
Rodrigo
re : Décomposition de Dunford et Jordan 04-01-08 à 21:03

C'est ça...

Posté par
fade2black
re : Décomposition de Dunford et Jordan 04-01-08 à 21:18

Bon voilà une bonne chose de clarifiée !

Maintenant, si je veux trouver ma matrice de passage :
on imagine qu'on a une valeur propre v de multiplicité m dans le polynome minimal. Sur le sous espace caractéristique Ev associé, la restriction de f s'écrit f=v*Id+N
m est alors l'indice de nilpotence de f ou de N ?

Posté par
fade2black
re : Décomposition de Dunford et Jordan 04-01-08 à 21:30

En fait suivant tes posts tu parle de nilpotence de f ou de nilpotence de N alors je suis un peu perdu...

Posté par
Rodrigo
re : Décomposition de Dunford et Jordan 04-01-08 à 21:56

Non c'est bien a chaque fois de N que je parle de nilpotence...desolé pour els erreurs de frappe.

Posté par
fade2black
re : Décomposition de Dunford et Jordan 04-01-08 à 22:14

Bon alors :
on imagine qu'on a une valeur propre v de multiplicité w dans le polynome caractéristique et m dans le polynome minimal. Sur le sous espace caractéristique Ev associé (de dimension w), la restriction de f s'écrit f=v*Id+N
m est alors l'indice de nilpotence de N. On cherche un vecteur x0 tel que N^(m-1)(x0) non nul, et on obtient une base de l'espace de Jordan associé à v (sous ensemble de Ev) : x0,N(x0),...,N^(m-1)(x0) ; reste à trouver des vecteurs pour avoir une base de Ev non, car là on a que m vecteurs alors qu'il en faudrait w non ?

Posté par
fade2black
re : Décomposition de Dunford et Jordan 05-01-08 à 22:20

T'es là Rodrigo ? Si tu pouvais juste répondre à cette dernière question, histoire que les choses soient enfin complètement claires...

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