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Décomposition en facteurs irréductibles

Posté par
Dcamd
08-03-09 à 19:01

Bonsoir,

J'ai essayé de décomposer X16-2X8+1 en facteurs irréductibles.
Le polynôme dérivé est : 16X15-16X7
-1 est racine de P' et de P, c'est donc une racine double
1 est également une racine double
i et -i également

Comment poursuivre ?

Merci d'avance

David

Posté par
DarkSun
re: Décomposition en facteurs irréductibles 08-03-09 à 21:00

Bonsoir Dcamd,

Ton polynôme X16-2X8+1 est égal à (X8-1)2.
Tu peux alors le décomposer de la façon suivante: ((X4-1)(X4+1))2
De la même façon tu peux décomposer (X4-1) et pour (X4+1) il s'agit de la même
technique mais en faisant apparaitre des nombres complexes (en l'occurence le complexe i ici)
ce qui te donne X4+1=(X2-i)(X2+i)
En décomposant ainsi de suite chaque terme que tu obtiens tu finiras par transformer ton polynôme
en un produit de facteurs irréductibles (et tu feras apparaitre les racines que tu as déjà trouvées).

J'espère avoir répondu à ta question

Posté par
Dcamd
re : Décomposition en facteurs irréductibles 08-03-09 à 23:17

Oui, merci beaucoup ! Parce que j'avais essayé toutes les racines évidentes mais je commençais à ne plus trop savoir quoi faire.

Merci encore

Dcamd

Posté par
Dcamd
re : Décomposition en facteurs irréductibles 08-03-09 à 23:29

J'ai donc trouvé :

(X+1)²(X-1)²(X+i)²(X-i)²(X²+i)²(X²-i)²

Posté par
apaugam
re : Décomposition en facteurs irréductibles 09-03-09 à 02:33

Attention sur\mathbb C     X^2+1 n'est pas irréductible

Il faut bien lire le texte
est-ce sur \mathbb Q , sur \mathbb R ou sur \mathbb C ?

Posté par
Dcamd
re : Décomposition en facteurs irréductibles 09-03-09 à 09:21

Sur et sur
C'est pour (X²+i) ? qui n'est pas irréductible sur ?

Posté par
amauryxiv2
re : Décomposition en facteurs irréductibles 09-03-09 à 11:44

Sur , tous les polynomes sont réductibles, pour rappel ...

Posté par
Camélia Correcteur
re : Décomposition en facteurs irréductibles 09-03-09 à 15:14

Bonjour

Enfin, tous sauf ceux de degré 1!

Le plus simple est de remarquer que

X^8-1=(X-1)(X-e^{2i\pi/8})(X-e^{4i\pi/8})...(X-e^{14i\pi/8})

Posté par
Dcamd
re : Décomposition en facteurs irréductibles 10-03-09 à 23:01

Oui, juste le remarquer alors ...
On le voit comment ça ? Whow

Posté par
apaugam
re : Décomposition en facteurs irréductibles 11-03-09 à 02:25

x^8=1=e^{2ik\pi} pour toute valeur entiere de k. Cela donne une seule valeur 1 pour x^8.
d'où
x=e^{\frac{2ik\pi}{8}} pour toute valeur entiere de k

pour obtenir les différentes  valeurs  de x on peut prendre k=0,1,...7
pour k=8 on retrouve la valeur pour k=0. On tourne en rond.
dessine les sur le cercle unité
les racines 8eme de l'unité découpent le cercle en 8 parts égales

Posté par
apaugam
re : Décomposition en facteurs irréductibles 11-03-09 à 02:26

En plus sur le dessin on voit mieux les racines réelles et aussi les racines complexes conjuguées.

Posté par
Dcamd
re : Décomposition en facteurs irréductibles 11-03-09 à 21:11

Merci encore apaugam !!! J'ai compris

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