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Décomposition matricielle

Posté par
masterrr 14-04-09 à 18:09

Bonjour,

Je suis en train de faire l'exercice suivant. Je bloque sur quelques questions, c'est pourquoi je fais appel à vous. Merci d'avance pour votre aide !
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Objectif :[u][/u] Prouver que tout matrice inversible 5$ P peut se décomposer sous la forme 5$ P=OT, avec 5$ O orthogonale et 5$ T triangulaire.

1. Soient 5$ E_1, E_2, E_3 trois bases d'un même espace vectoriel 5$ E. Exprimer 5$ Pas_{2$ E_1\to E_3} à l'aide de 5$ Pas_{2$ E_1\to E_2} et 5$ Pas_{2$ E_2\to E_3}.

2. On se place dans le cas où 5$ E=\mathbb{R}^2 muni de sa structure euclidienne usuelle et de sa base canonique 5$ E=(\vec{e_1},\vec{e_2}).

a) Montrer que 5$ P=\(\array{\\&3&1\\&-1&2}\) est inversible.

b) Soient 5$ \vec{f_1}=(3,-1), \vec{f_2}=(1,2). Montrer que 5$ F=(\vec{f_1},\vec{f_2}) est une base de 5$ E. Orthonormaliser cette base en une base 5$ G=(\vec{g_1},\vec{g_2}).

c) Donner les valeurs de 5$ Pas_{2$ E\to G}, Pas_{2$ G\to E}, Pas_{2$ F\to G}, Pas_{2$ G\to F}, Pas_{2$ E\to F}, Pas_{2$ F\to E}.

d) Trouver 5$ O \in O_2(\mathbb{R}) et 5$ T \in T_{2}^{+}(\mathbb{R}) telles que 5$ P=OT.
_________________________________________________________________________________________________________

1. J'ai écrit ce que chaque matrice représente en fonction de quoi mais je n'arrive pas à trouver leur lien...

2.

a) Après un coup de pivot, on voit que la matrice est de rang 2. On est en dimension 2 donc la matrice est inversible.

b) La famille 5$ F a pour cardinal 2 et est libre (famille de deux vecteurs non colinéaires en dimension 2) ; c'est donc une base de 5$ E. \\
Après orthogonolisation à la Gram-Schmidt puis orthonormalisation, j'obtiens 5$ \vec{g_1}=\frac{1}{sqrt{10}}(3,-1) et 5$ \vec{g_2}=\frac{7}{sqrt{10}}(\frac{7}/{10},\frac{21}{10}).

c) 5$ Pas_{2$ E\to G}=\(\array{\\&\frac{3\sqrt{10}}{10}&\frac{49\sqrt{10}}{100}\\&-\frac{\sqrt{10}}{10}&\frac{147\sqrt{10}}{100}}\)

que l'on inverse pour avoir 5$ Pas_{2$ G\to E}=\(\array{\\&\frac{147\sqrt{10}}{490}&-\frac{49\sqrt{10}}{490}\\&\frac{10\sqrt{10}}{490}&\frac{30\sqrt{10}}{490}}\).


5$ Pas_{2$ E\to F}=\(\array{\\&3&1\\&-1&2}\)

que l'on inverse pour avoir 5$ Pas_{2$ F\to E}=\(\array{\\&\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\\&-\frac{1}{7}&\frac{3}{7}}\).

Je pense que pour 5$ Pas_{2$ F\to G}, Pas_{2$ G\to F} il doit falloir faire un changement de bases ?

d) Je ne trouve pas les matrices orthogonale et triangulaire demandées...

Merci d'avance !

Posté par
raymond Correcteurre : Décomposition matricielle 14-04-09 à 18:33

Bonsoir.

Soient :

2$\textrm P = matrice de passage de E_1 a E_2\\ \\ P' = matrice de passage de E_2 a E_3\\ \\ P'' = matrice de passage de E_1 a E_3

Si x est un vecteur de E, appelons

2$\textrm X_1 = matrice colonne de ses coordonnees sur E_1\\ \\ X_2 = matrice colonne de ses coordonnees sur E_2\\ \\ X_3 = matrice colonne de ses coordonnees sur E_3

Alors, conformément aux formules de changement de base :

2$\textrm X_1 = PX_2 \ , \ X_2 = P'X_3 \ , \ X_1 = P''X_3

On en déduit aisément que P" = P.P'

Posté par
masterrrre : Décomposition matricielle 14-04-09 à 19:03

Bonsoir Raymond,

Merci pour votre réponse. J'ai repris la question avec un petit diagramme qui simplifie bien les choses et je trouve en effet que 5$ Pas_{2$ E_1\to E_3}=Pas_{2$ E_1\to E_2}\times Pas_{2$ E_2\to E_3}.

Par contre, je bloque toujours sur le reste...

Posté par
raymond Correcteurre : Décomposition matricielle 14-04-09 à 19:10

J'ai trouvé :

3$\textrm g_1( \fra{3}{\sqrt 10} ; \fra{-1}{\sqrt 10} )

3$\textrm g_2( \fra{1}{\sqrt 10} ; \fra{3}{\sqrt 10} )

Posté par
masterrrre : Décomposition matricielle 14-04-09 à 19:18

Oui, je confirme ! J'avais dû faire une petite erreur de calcul d'où le résultat faux que j'avais annoncé...

Il me manque un petit bout de la question 2. c) et la question 2. d).

Posté par
raymond Correcteurre : Décomposition matricielle 14-04-09 à 20:05

Pour trouver F ---> G, sers toi de l'écriture de recherche de Schmidt.

Je trouve :

2$\textrm E \rightarrow \ F : \begin{pmatrix}3&1\\-1&2\end{pmatrix}

2$\textrm F \rightarrow \ E : \fra{1}{7}\begin{pmatrix}2&-1\\1&3\end{pmatrix}

2$\textrm E \rightarrow \ G : \fra{1}{\sqrt{10}}\begin{pmatrix}3&1\\-1&3\end{pmatrix}

2$\textrm E \rightarrow \ G : \fra{1}{\sqrt{10}}\begin{pmatrix}3&-1\\1&3\end{pmatrix}

2$\textrm F \rightarrow \ G : \fra{1}{7\sqrt{10}}\begin{pmatrix}7&-1\\0&10\end{pmatrix}

2$\textrm G \rightarrow \ F : \fra{1}{\sqrt{10}}\begin{pmatrix}10&1\\0&7\end{pmatrix}

Maintenant, applique la question 1°) : P = O.T, avec :

P = E -> F

O = E -> G

T = G -> F

Posté par
masterrrre : Décomposition matricielle 14-04-09 à 21:05

Merci à nouveau pour vos réponses mais qu'entendez-vous par "écriture de recherche de Schmidt" ?

Il me manque les matrices de passage entre les bases F et G. Il suffit d'en trouver une puisqu'elles sont inverses l'une de l'autre.

Posté par
masterrrre : Décomposition matricielle 14-04-09 à 21:27

C'est bon en fait ! Merci quand même.

Posté par
masterrrre : Décomposition matricielle 14-04-09 à 23:52

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Voilà la suite : on se place maintenant dans 5$ E=\mathbb{R}^3 avec 5$ B la base canonique de 5$ E. On définit 5$ P=\frac{1}{9}\(\array{\\&8&25&-22\\&-4&-8&-7\\&1&11&-14}\).

Soit 5$ F la famille de vecteurs représentée par 5$ P dans 5$ B.

a) Vérifier que 5$ F est une base de 5$ E et l'orthonormaliser.

b) Trouver 5$ O \in O_3(\mathbb{R}) et 5$ T \in T_{3}^{+}(\mathbb{R}) telles que 5$ P=OT.

c) Comment ai-je fait pour construire 5$ P ?
____________________________________________________________________________________________________________

Alors, sur le même principe que précédemment :

a) 5$ F est de cardinal 3 et constitue une famille libre : c'est donc une base de 5$ \mathbb{R}^3.

On orthonormalise 5$ F à la Gram-Schmidt en une base 5$ G avec :

5$ \vec{g_1}=\frac{1}{9}(8,-4,1), \vec{g_2}=\frac{1}{9}(1,4,8), \vec{g_3}=\frac{1}{9}(-4,-7,4).

b) Idem, d'après la question 1, 5$ Pas_{2$ B\to F}=Pas_{2$ B\to G}\times Pas_{2$ G\to F} avec :

5$ Pas_{2$ G\to F}=\frac{1}{9}\(\array{\\&1&\alpha&\alpha\\&0&1&\beta\\&0&0&1}\) \in T_{3}^{+}(\mathbb{R}) (les 5$ \alpha, \beta viennent de mon orthonormalisation à la Gram-Schmidt, d'autant plus qu'ici on n'a pas besoin de leurs "vraies" valeurs alors...)

et 5$ Pas_{2$ B\to G}=\frac{1}{9}\(\array{\\&8&1&-4\\&-4&4&-7\\&1&8&4}\) \in O_3(\mathbb{R}).

c) Je ne vois pas comment il a construit la matrice en fait...


Merci d'avance pour votre aide et bonne soirée !

Posté par
masterrrre : Décomposition matricielle 15-04-09 à 09:57

Une petite idée peut être ?

Je ne vois pas comment il a fabriqué la matrice en question...

Merci .

Posté par
raymond Correcteurre : Décomposition matricielle 15-04-09 à 11:23

Je trouve la même matrice orthogonale U = Pas(B -> G) que toi.

Je pense que c'est cette matrice qui a été élaborée en premier.

Ensuite, en la multipliant par une trigonale supérieure inversible, on arrive à P.

Posté par
masterrrre : Décomposition matricielle 15-04-09 à 11:58

Merci.

J'ai mis : la matrice P a été construite à partir de la matrice orthogonale. Une matrice triangulaire supérieure a ensuite été tapée contre cette dernière pour obtenir P. Le coefficient 2$ \frac{1}{9} est là pour faciliter les calculs.

Qu'en pensez-vous ?

Posté par
masterrrre : Décomposition matricielle 15-04-09 à 12:03

Après deux cas particuliers, vient la généralisation du résultat... !
____________________________________________________________________________________________________________

Soit 5$ P \in GL_n(\mathbb{R}).

Montrer qu'il existe 5$ O \in O_n(\mathbb{R}) et 5$ T \in T_{n}^{+}(\mathbb{R}) telles que 5$ P=OT.
____________________________________________________________________________________________________________

On a vu que le résultat est vrai en dimension 2 et 3. Il semble donc "normal" d'étendre ce résultat à tout espace de dimension finie.

Par contre comment justifier et surtout rédiger cela ? Dois-je reprendre le même genre de questions que pour les cas particuliers précédents ou voyez-vous un autre moyen pour généraliser ce résultat ?

Merci d'avance !

Posté par
raymond Correcteurre : Décomposition matricielle 15-04-09 à 17:04

Pour le cas général, utilise la même démarche :

1°) orthonormalisation des vecteurs colonnes de P. La méthode de Schmidt prouve que cela est possible.

2°) Passage triangulaire supérieur avec des 1 sur la diagonale de la base orthonormale à la base initiale grace à la construction de Schmidt.

Posté par
masterrrre : Décomposition matricielle 17-04-09 à 15:01

Je n'y arrive pas...

Pourriez-vous m'aider un peu plus pour la généralisation s'il vous plaît ?

Merci ! ...

Posté par
raymond Correcteurre : Décomposition matricielle 17-04-09 à 16:01

On considère, pour n > 1, le IR-espace vectoriel euclidien IRn muni de son produit scalaire canonique.

Nous appellerons E = (e1 , ... , en) sa base canonique, orthonormale par construction.

Soit P GLn(IR) une matrice inversible d'ordre n > 1.

Ses colonnes constituent donc une base F = (f1 , ... , fn) de IRn.

Cette base F peut être orthonormalisée par la méthode de Gram-Schmidt et donner une base :

orthogonale G' = (G1 , ... , Gn) de IRn, que l'on normera pour trouver une base

orthonormale G = (g1 , ... , gn) de IRn

Rappelons que le théorème de Gram-Schmidt indique qu'il existe une unique base orthonormale G telle que, pour tout k compris entre 1 et n :

1°) Vec(f1 , ... , fk) = Vec(g1 , ... , gk)

2°) (fk|gk) > 0

Sa construction effective est donnée par les formules :

2$\textrm \ \ g_1 = \fra{1}{||f_1||}f_1\\ \ G_2 = f_2 - (f_2|g_1)g_1\\ \ . \\ \ . \\ \ . \\ \\ \ G_n = f_n - (f_n|g_1)g_1 + ... - (f_n|g_{n-1})g_{n-1}

puis, pour tout k, 2$\textrm g_k = \fra{1}{||G_k||}G_k

Alors, d'après la question 1°), nous savons que :

Pas(E -> F) = Pas(E -> G)Pas(G -> F)

Examinons ces trois matrices.

1°) Pas(E -> F) = P par définition

2°) Pas(E -> G) = O O(IRn) car elle permet de passer de la base canonique qui est orthonormale, à la base G qui est également orthonormale par construction.

3°) Pas(G -> F) = T, matrice de passage de G à F. Les formules d'orthonormalisation indiquées plus haut permettent de construire cette matrice qui s'avère donc être triangulaire supérieure à coefficients positifs.

D'où la décomposition demandée dans l'énoncé.

Posté par
masterrrre : Décomposition matricielle 17-04-09 à 17:44

Merci beaucoup à vous d'avoir pris du temps pour m'expliquer la généralisation parce que je n'arrivais pas au bout...

Bon weekend à vous !

Posté par
raymond Correcteurre : Décomposition matricielle 17-04-09 à 18:38

Tu remarqueras que toutes les conditions du théorème de Gram-Schmidt sont utilisées ici.

Bon week-end.


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