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décomposition valeurs singulières d'une matrice

Posté par
stokastik
28-12-06 à 15:11


Bonjour, connaissez-vous ce théorème ?

Soit X une matrice. On pose V={}^tXX et on note \lambda_i les valeurs propres de V, et V_i les vecteurs propres orhonormés associés, ainsi que V_i^* les vecteurs propres orthonormés de 2${}^tV. Alors on a :

3$X=\sum \sqrt{\lambda_i}V^*_i{}^tV_i


Ce théorème a une utilité très concrète, la voyez-vous ?

Posté par
Cauchy
re : décomposition valeurs singulières d'une matrice 28-12-06 à 15:31

Bonjour,

je connais ce theoreme apres pour ce qui est des applications je ne sais pas, en as-tu?

Posté par
stokastik
re : décomposition valeurs singulières d'une matrice 28-12-06 à 15:38


Oui mais je laisse un moment si qq'un veut chercher

Observez bien cette décomposition

Posté par
Cauchy
re : décomposition valeurs singulières d'une matrice 28-12-06 à 15:44

Elle est comique l'application ?

Posté par
stokastik
re : décomposition valeurs singulières d'une matrice 28-12-06 à 15:57


Non elle est pratique. Elle peut être utilisée en informatique. D'ailleurs peut-être que des logiciels utilisent ce théorème. Quels logiciels ?..

Posté par
robby3
re : décomposition valeurs singulières d'une matrice 28-12-06 à 16:01

Salut à tout les deux,moi je diré que soit maple soit matlab utilise ce truc, je pencherais davantage pour matlab d'ailleurs mais je ne sais pas.

Posté par
Cauchy
re : décomposition valeurs singulières d'une matrice 28-12-06 à 16:02

Apres une petite recherche sur google ca sert pour la météo apparemment pensais tu à ca ?

Posté par
stokastik
re : décomposition valeurs singulières d'une matrice 28-12-06 à 16:06


Pour la météo ? Non je ne savais pas.

robby3 comment ça matlab ?

Posté par
robby3
re : décomposition valeurs singulières d'une matrice 28-12-06 à 16:08

lol je sais pas,tu as parlé de logiciels,je pensais donc naturellement logiciels de calculs puis vu que je connais que matlab et maple,bah je pensais que c'était un des deux et comme on utilise davantage matlab pour tout ce qui est du domaine des matrices...voila,mais c'était juste une supposition.

Posté par
stokastik
re : décomposition valeurs singulières d'une matrice 28-12-06 à 16:09


Ben peut-être que matlab sait faire cette décomposition, mais je demande une utilité de celle-ci.

Posté par
robby3
re : décomposition valeurs singulières d'une matrice 28-12-06 à 16:11

eh bien je ne vois pas alors, lol dsl,d'ailleurs je me posais la question de savoir a quoi ça servait tout ce qu'on sait faire sur les matrices...parce que dans la pratique ça sert à quoi les matrices ??
Bref,dsl je ne vois pas d'application concrete de ton theoreme.

Posté par
Cauchy
re : décomposition valeurs singulières d'une matrice 28-12-06 à 16:17

Salut robby,

stokastik

A la fin ils disent que ca sert pour la wheather prediction

Posté par
stokastik
re : décomposition valeurs singulières d'une matrice 28-12-06 à 16:34


J'ai jeté un oeil et je ne vois pas le truc auquel je pensais.

Bon regarde. Combien de nombres à gauche de l'égalité, et à droite ?

Posté par
Cauchy
re : décomposition valeurs singulières d'une matrice 28-12-06 à 16:45

Quoi?

Posté par
stokastik
re : décomposition valeurs singulières d'une matrice 28-12-06 à 16:48


Si X a n lignes et p colonnes, y'a combien de nombres (coefficients) dans X ? Et y'a combien de nombre dans le membre de droite de l'égalité ? (appelons r le nombre de valeurs propres non nulles)

Posté par
Cauchy
re : décomposition valeurs singulières d'une matrice 28-12-06 à 17:01

Et bien il y en a np?

Posté par
stokastik
re : décomposition valeurs singulières d'une matrice 28-12-06 à 17:02


Oui et dans le membre de gauche ?

Posté par
stokastik
re : décomposition valeurs singulières d'une matrice 28-12-06 à 17:02


.. de droite pardon

Posté par
Cauchy
re : décomposition valeurs singulières d'une matrice 28-12-06 à 17:02

Bien pareil non?

Posté par
stokastik
re : décomposition valeurs singulières d'une matrice 28-12-06 à 17:10


Ben non tu n'as pas bien examiné le membre de droite. Il est écrit sous forme d'une somme. Combien de nombres dans chaque terme ?

Et donc ?

Posté par
Cauchy
re : décomposition valeurs singulières d'une matrice 28-12-06 à 17:13

Et bien rn?

Je lache l'ile un peu

Posté par
stokastik
re : décomposition valeurs singulières d'une matrice 28-12-06 à 17:20


Non pas rn... bon à+

Posté par
Cauchy
re : décomposition valeurs singulières d'une matrice 29-12-06 à 17:25

Euh non pas n ,V est de dimension p*p apres je vois pas trop ou tu veux en venir.

Posté par
stokastik
re : décomposition valeurs singulières d'une matrice 30-12-06 à 13:36


V est un vecteur de taille p et V* de taille n. Donc dans chaque terme, en comptant la valeur propre il y a p+n+1 nombres, donc en tout à droite r(n+p+1).

Si r est assez petit pour que r(n+p+1)<np le théorème te permet de reconstituer la matrice X avec moins de np nombres.

C'est donc un utilitaire de compression et décompression de données

Mais bon c'est vrai que r doit être petit.

Posté par
Cauchy
re : décomposition valeurs singulières d'une matrice 30-12-06 à 16:04

J'aurai surement pas pensé à ca.

Posté par sdv (invité)exercice concernant une décomposition en valeur singulière 10-03-07 à 17:17

J'ai un petit problème dans un cours de math (Théorie des matrices) Je dois résoudre cet exercice mais la tâche m'est difficile. Quelqu'un peut il m'aider? Voici...

Soit Y ∈ n×n une matrice donnée. On souhaite résoudre le problème :

min de la norme de Frobenius au carré de : Q-*Y

t.q. Q^T*Q = Ip
Q ∈ p×p


Déterminer la valeur optimale de Q et montrer que la valeur optimale de est le rapport entre la somme des valeurs singulière de Y et la somme de ces mêmes valeurs singulières élevées au carré.

NB: il y a trois valeurs singulières 1,2 et 3

Il me semble qu'une décompostion en valeur singulière interviendra la dedans mais je ne vois pas le
lien avec la question... Je suis un peu perdu:
En plus les dimensions des matrices Q et Y ne me semblent pas bonnes. Mais bon disons que c'est une erreur dans l'énoncé qui m'a été remis...

Merci

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