Pour la hauteur
H= d(2+1) soit 9(1.4142+1)=21.7279
L= d(3/2 2 + 1) soit 9(3/2 * 1.4142 + 1)= 28.0918

B à V

L'énoncé parle de « longueur du côté de la boîte.. Je suppose donc que cette boîte est carrée.
Soit D le diamètre d'une boule, on a :
AB= FG*sin + GH*sin + D=3D*sin +D
AD=EI*cos +D=2D*cos +D
Comme AB=AD, on obtient la relation :
2*cos = 3*sin
soit tel que cos = 2/13 et sin = 3/13
On peut écrire cos*cos-sin*sin=cos(+)=0,
Donc =90°- et sin = cos= 2/13

AB=D(3*sin +1)=9*(6/13 +1)= 9/13*(6*13 + 13).
La longueur du côté de la boîte (supposée carrée) est donc égale (valeur exacte) à L= 9/13*(6*13 + 13),en cm , soit environ 23,98 cm..

Bonjour,

Soit alpha l' angle que forment trois boules alignées avec un des côtés horizontaux de la boîte sur le schéma.

Le côté de la boîte vaut 9*[1+3*cos(alpha)] ou encore 9*[1+2*sin(alpha)].

Il reste à trouver alpha, tel que ces deux expressions soient égales.

Le résultat est arctangente(3/2), avec un côté de 23.9769... cm.
(désolé de ne pas trouver un compte rond).

A+,
gloubi

Salut !

Ma réponse est :

La longueur de la boîte est 27racine(4/13)+9.

Merci pour l'énigme.

... en cm bien sûr !

Bonjour et merci pour cette énigme.

Alors j'ai fait un système d'équation avec l'angle entre 2 boules et la longueur d'un coté du carré de telle sorte que

27 sin a + 9 = L
18 cos a + 9 = L

J'en déduis que L = 9 + 27 (4/13)

Merci pour cette énigme.

Chaudrack

Bonjour,

Je suppose que la boîte est carrée et que l'on doit exprimer la longueur de son côté en cm :

La longueur du côté de la boîte est

Voilà une énigme qui aurait plu à notre Philoux

Merci et à bientôt, KiKo21.

Je ne me souviens plus si j'ai précisé l'unité dans mon Post de 14h49.

Même si je ne pense pas que mon ami (ouhhh le fayot) m'en tienne rigueur, histoire de préciser que naturellement il s'agit du cm.

Merci encore et félicitation à Chanty de m'avoir encore grillé!

bonjour,
La longueur du côté de la boite est de (cm)

Bonsoir,

La boite est à base carrée, de côté (unité: cm)

_{C'est la valeur exacte qui était demandée, je précise quand même l'application numérique : c 23.98 cm.}

Bon week-end !

Bonjour

A+

bonjour, j'aime bien la géométrie...

Minkus, tu ne dis pas explicitement que la boîte est carrée, mais comme tu demandes le côté...

je trouve un côté exactement égal à 9 + 54/13

merci pour l'énigme

Bonjour, je trouve un côté de 9+54/13 cm.
Et encore merci pour ces problèmes.

En considérant chaque cercle comme une cercle trigonométrique, on peut démontre facilement vu la configuration que les points de contactes sont à des angles de + ou - pi/3, selon les cas, et on a :
L = 2(9 + 9cos(pi/3) + 9cos(pi/3))
soit L = 18(1+2)

Bonjour,

Encore une énigme de géométrie qui me pose des problèmes. Décidément ce n'est pas mon truc. Je vais tenter une réponse au risque de me retrouver avec un poisson dans la boîte.

Rien ne dit la forme de la boîte. En effet elle peut être plus ou moins allongée et étroite, ou encore carré. Et tous ces cas permettent que les boules de pétanque ne bougent pas.

A partir du dessin de Minkus, j'appelle A la longueur du côté haut et bas, et B la longueur des côtés gauche et droite.

Soit L et H les côtés d'un triangle rectangle, dont l'hypoténuse est le segment rejoignant le centre de 2 boules adjacentes.

J'obtiens :
L²+H² = 9² = 81
A = 3L + 9
B = 2H + 9
Avec : L > 9/2 et H > 9/2, soit : A > 22.5 et B > 18

Nous avons donc la relation entre les 2 côtés de la boîte :
(A-9)² / 9  + (B-9)² / 4 = 81 avec A > 22.5 et B > 18

Maintenant, quelle réponse donner en dehors de cette formule ?

L'énigme parle de la longueur du côté de la boîte : n'y a-t-il qu'une longueur ? si oui elle est carrée, et donc  
A = B donc 3L = 2H soit : L = 18/ racine(13) et H = 27 / racine (13)

La longueur d'un côté de la boîte carrée est :  A = B = 9 + ( 54 / racine (13)) en cm
Ce qui fait environ (mais ce n'est pas demandé puisqu'il est demandé la valeur exacte ci-dessus) : 23.977 cm.

C'est plus grand qu'une boîte de sardine : j'espère éviter le poisson.

Merci pour cette énigme.

Bonsoir,

Encore un problème de billard ?

En considérant le carré vert, passant par 5 centres des boules (assimilables à des disques dans le plan passant par tous les centres), on s'aperçoit que le second segment rouge (après réflexion) coupe le milieu du côté du carré. Ainsi, si x est le côté du carré vert, j'en déduis, par Pythagore que x vérifie soit d'où, avec x>0, .
Enfin, il faut ajouter le diamètre de 9 cm pour obtenir le côté du grand carré.
Conclusion: La base (un carré) a pour côté   (env 23,98 cm)
^{( et la hauteur de la boîte vaut 9 cm )}

Rq: Plus généralement pour un diamètre d, on a

Merci pour l'énigme.

la longueur du côté de la boîte est : 9+54/rac(13) égale environ 23,977

Bonjour,

Je note
d : le diamètre des boules
x : l'angle indiqué sur mon dessin


Ensuite, si j'ai bien compris, la boîte est carrée, donc son côté vaut :

        d + 2 . d sin x
ou    d + 3 . d cos x

donc            2 sin x = 3 cos x
et comme    sin² x + cos² x = 1

on obtient :

       sin x = 3 / √13
et   cos x = 2 / √13

Le côté de la boîte en centimètres vaut donc     9 ( 1 + 6/√13 )

^{( ce qui fait environ 24 cm )}

bonjour
la longeur est:
L24.36cm.

9 + 18*cos(arctg(2/3))
soit une valeur approchée de 23,977 cm

Bonjour,

Je pense qu'il manque une donnée dans l'énoncé.
On ne peut pas connaître la longueur car on ne connaît pas la largeur.
J'ai donc exprimé l'une en fonction de l'autre, ce qui donne :
.

Pour répondre à l'énigme, je suppose que la boîte est carrée.
Il suffit donc de résoudre l'équation .

Je trouve alors que le côté de la boîte doit être égal à ,
soit environ .

Si la boite est rectangulaire, on ne peut pas calculer, si elle est carrer, alor:
coter du carrer=9+(311)/6

(117+54rac(13))/13 cm = 23,997 cm approché (rac(n) signifie racine carrée de n).

Considérons l'angle aigu formé par un côté horizontal du carré et par la ligne des centres de deux cercles qui se touchent. Soit s son sinus et c son cosinus.

En allant de haut en bas, on parcourt deux rayons verticaux plus quatre rayons obliques, qu'il faut multiplier par s pour en avoir le déplacement vertical : côté = 9+18s.
En allant de gauche à droite, on parcourt deux rayons horizontaux plus six rayons obliques, qu'il faut multiplier par c pour en avoir le déplacement horizontal : côté = 9+27c.

18s = 27c; c = 2/3 s.
s²+c² = 1; s²+4/9 s² = 1; 13/9 s² = 1; s = rac(9/13)
côté = 9+18rac(9/13) = 9+(54/rac(13)) = (117+54rac(13))/13

J'ai fait une erreur de calcul, la vrai reponce est:
23.976905298081186294495226803339...=9*(6*(13)/13+1)

Je sais qu'une seul reponce est autoriser, mais bon, toujours mieu vaut esseiier, prenez la deusieme SVP SVP SVP SVP

Salut à tous,

je ne suis pas sur d'avoir bien compris le probleme (il me semble que quelle que soit la largeur, en adaptant la hauteur, les boules ne bougent pas).
Quoi qu'il en soit, si je regroupe les boules au maximum, j'arrive à une largeur de 22,5cm

@+

Bonsoir,
La longueur du côté de la boite est

Merçi pour l'énigme.

Bonjour,
je propose:
le côté du carré mesure exactement  9+54/sqrt(13) , soit en valeur approché 23,98 cm.

Bonjour,

La première réponse est celle trouvée en utilisant Cabri-géomètre.
Or je viens de voir qu'elle derait être la valeur exacte:
j'ai pris mon crayon à deux pointes pour trouver (cm)
soit environ 23,75 ce qui n'était pas tellement loin des 24 trouvé sans aucun calcul!
Merci pour le poisson.

Bonjour, il me semble que l'énoncé est incomplet car il n'est pas précisé que la boîte doit être carrée. Si elle était rectangulaire, elle pourrait avoir n'importe quelle taille mais si elle est carrée, son côté vaut .

Sauf erreur(s)...

Fractal

Il y a encore une ambiguïté dans l'énonce. Mais je commence à comprendre qu'en fait, il s'agit d'une difficulté supplémentaire voulue.

Ici il s'agit du caractère seulement rectangulaire ou alors carré de la boîte. Je pense qu'elle est carrée, car on demande de calculer LE côté. Dans le doute, j'ai tout de même mis la formule qui permet de déterminer un côté en fonction de l'autre dans le cas général d'une boîte rectangulaire.



Soit la 'hauteur' de la boîte, et la largeur de la boîte.

Soit la distance horizontale entre les centres des boules formant des colonnes successives (cf le dessin). De même, j'appelle la distance verticale entre les centres des boules formant des rangées successives.



On a alors les relations suivantes très simplement :

* , avec le rayon d'une boule

*

*

De ces trois relations, on tire l'égalité suivante :



Avec cette relation, on peut déterminer un côté si l'on connait l'autre.



A partir d'ici, je suppose que l'on a à faire à un carré :

J'ai alors : qui n'a qu'une solution positive pour :



Ma solution est donc :

en centimètres

soit approximativement 5,3 fois le rayon, soit 24 centimètres

Bonjour Minkus,

La chaleur ne me vaut rien de bon! (voir mail précédent).
Ma réponse après être passé par le trigono  est
9+27.V(4/13)=23,976953.. . C'est encore mieux!

On supposera, comme le suggère le dessin, mais ne le précise pas l'énoncé, que la boîte est carrée.
On peut alors exprimer de deux façons différentes le coté en fonction du diamètre d des boules et de l'angle a de la ligne des 3 centres alignés avec le coté: c=d(1+2sina)=d(1+3cosa) ; il existe donc x tel que sina=3x et cosa=2x et comme sin^2+cos^2=1, 13x^2=1 x=1/rac(13)
Donc c=d(1+6x)=9(1+6/rac(13) ) (un peu moins de 24 cm)
rac désigne la racine carrée, visiblement mon symbole ? ne passe pas quand je regarde l'aperçu...

salut je vais tenter un truc de fou

ton schema est a l'echelle trois fois petit (boule de diametre 3cm)

Donc 7.5*3 = 22.5
et 8*3 = 24

Donc les longueur de la boite sont  24 sur 22.5

Je considère que la boite est carrée (Ce n'est pas précisé dans l'ennoncé, mais dans le dessin les boules ne sont pas en contact dans le sens horizontal, et l'image est carréé).
Mes calculs donnent comme résultat arrondi 23.977cm
La valeur exacte est V(37908)/26

Si je ne me suis pas trompé, chaque côté de la boite mesure 24 cm.

J'ai fait la figure sur cabri géomètre 2 ! Et j'ai obtenu un rectangle de exactement 22.5 cm sur 26.86 cm.

Mais à mon avis la boîte doit être carrée  ! Donc elle doit avoir la même aire que ce rectangle !

22.5*26.86 = 604,35.

604,35 24.58353107


Donc voici ma réponse :
Un côté de ce carré est de 604.35 cm.

Bonjour a tous.

Comme plusieurs l'ont dit, il fallait bien sur considerer que la boite etait carree. Desole si cela n'etait pas suffisamment implicite dans l'enonce.

>Nobody : Ce n'est pas voulu et je suis desole si mes enonces ne sont pas assez precis dernierement. Je vais essayer de faire attention...

Personnellement, ma solution aboutit a l'expression 9 + 54/13 et c'est le cas de la majorite des reponses, a quelques factorisation pres.

En revanche d'autres methodes trigonometriques sont tres interessantes et on voit que la valeur exacte admet plusieurs expressions.

>Nikola LFZ : desole mais seule la premiere reponse compte.

>kimented : Ta valeur exacte est fausse. Etourderie ??

Bravo a tous.

minkus

Bonjour Minkus

Petite question indiscrète: ressemblez-vous à ce sympathique personnage?

Moomin

Effectivement étourderie, avec une feuille pleine de calculs ça devait arriver...
La réponse exacte est 2*V(37908)/26+9 qui donne bien 23.977
Mais j'ai que donné une partie du calcul, V(37908)/26

>Moomin :

Dans 50 ans peut-etre

Coucou, me revoilou !!

Après une semaine de jury, de canicule et d'accès très limité à internet
(je dois exploser le compteur de temps de réponse !),
je me pose enfin sur le sable gris d'une plage de l'île...

Ah, la partie de pétanque (ici, c'était plutôt de la lyonnaise, vu le diamètre des boules) : ça sent les vacances !

Si vous avez aimé cette énigme, allez voir celle-ci posté par notre Philoux dans l'expresso (JFF) : JFF : Cinq à set (de table)...:*::*::*:
Elle attend toujours sa réponse...

A bientôt, KiKo21.