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Défi: Limite de suite de fonction

Posté par
justinedu35 31-10-07 à 10:33

Voilà un défi que me pose ma prof de math: f est la fonction définie sur R* par:
f(x)=[(1+sin(x))-(1-sin(x))]/x

et je dois étudier la limite de f en 0.

Pouvez vous m'aider?

Posté par
xunilre : Défi: Limite de suite de fonction 31-10-07 à 10:39

bonjour,

avec la quantité conjuguée on doit pouvoir s'en sortir ....

Posté par
patrice rabillerre : Défi: Limite de suite de fonction 31-10-07 à 10:43

Bonjour ?

La fonction f peut s'écrire : f(x)=\frac{\(\sqrt{1+\sin x}-\sqrt{1+\sin x}\)\times\(\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1+\sin x}\)}{x\(\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1+\sin x}\)} ...

Posté par
justinedu35re : Défi: Limite de suite de fonction 31-10-07 à 10:55

re, bjr, je sais pourquoi utliser la formule conjuguée, mais ici c'est de la forme (a-b)(a+b)=a2-b2  donc de (1+sinx)2-(1+sinx)2?  Je ne vois pas non plus vers quoi tend  (1+sinx) quand x tend vers 0??
Merci

Posté par
justinedu35re : Défi: Limite de suite de fonction 31-10-07 à 10:57

J'ai trouvé que le denominateur tendait vers 0 quand x tend vers 0 est-ce exacte?

Posté par
patrice rabillerre : Défi: Limite de suite de fonction 31-10-07 à 10:59

En utilisant l'expression conjuguée, la fonction se simplifie : f(x)=\frac{(1+\sin x)-(1-\sin x)}{x\(\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x}\)}, ce qui donne f(x)=\frac{2\sin x}{x\(\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x}\)}.

Ensuite, on utilise le résultat : \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1

Posté par
patrice rabillerre : Défi: Limite de suite de fonction 31-10-07 à 11:02

Oups... dans mon message de 10:43, j'avais mal écrit la fonction f. Par contre, dans mon dernier message c'est bien ce qu'on doit obtenir.

Posté par
xunilre : Défi: Limite de suite de fonction 31-10-07 à 11:05

patrice rabiller : non la bonne fonction f est bien celle de 10:43 ? (ce serait inintéressant d'écrire juste \sqrt{1}; c'est plutot \sqrt{1+sin(x)} ? )

...

Posté par
justinedu35re : Défi: Limite de suite de fonction 31-10-07 à 11:12

bjr, re: Voilà ce que je trouve :
f(x)= [(1+sin(x))-(1-sin(x))]/x
=  [(1+sin(x))-(1-sin(x))]* [(1+sin(x))+(1-sin(x))]/(x*([(1+sin(x))+(1-sin(x))])

= [(1+sin(x))2-(1-sin(x)2
/(x*([(1+sin(x))+(1-sin(x))])


or lim xtend vers 0 de x = 0 , et lim *([(1+sin(x))+(1-sin(x)) =2 donc lim du denominateur =0,

Mon raisonnement est il coreccte?

Posté par
xunilre : Défi: Limite de suite de fonction 31-10-07 à 11:14

ah non oui c'était l'hisoire du moins qui n'allait pas ....

Posté par
justinedu35re : Défi: Limite de suite de fonction 31-10-07 à 11:27

Re , bjr,?? pouvez vous m'aider

Posté par
justinedu35re : Défi: Limite de suite de fonction 31-10-07 à 11:27

oups, donc là c'est bon en fait?

Posté par
justinedu35re : Défi: Limite de suite de fonction 31-10-07 à 12:27

mon resultat est ok?

Posté par
xunilre : Défi: Limite de suite de fonction 31-10-07 à 12:56

tu dois trouver comme limite 1.

car 3$\lim_{x\to\0}\frac{2}{\sqrt{1+sin(x)}+\sqrt{1-sin(x)}}=1

a+

Posté par
justinedu35re : Défi: Limite de suite de fonction 31-10-07 à 13:03

Pourrais tu me détailler le calcul s'il te plait?
car jusqu'à la ligne là :[(1+sin(x))2-(1-sin(x)2
/(x*([(1+sin(x))+(1-sin(x))]) c'est bon ? ce sotn mes carrés que je développe mal, peut etre?

en fait quand tu arrives à ton résulat tu trouves la limite car le dénominateur est égale " si on remplace x" à 1+=2 comme sin0=0 donc le tout c'est lim 2/2=1

Posté par
xunilre : Défi: Limite de suite de fonction 31-10-07 à 13:12

et benh on multiplie par la quantité conjuguée on a donc:

3$\lim_{x\to\0}f(x)=\lim_{x\to\0}\frac{2sin(x)}{x(\sqrt{1+sin(x)}+\sqrt{1-sin(x)})}

3$=\lim_{x\to\0} \frac{sin(x)}{x} \times \frac{2}{\sqrt{1+sin(x)}+\sqrt{1-sin(x)}}

or 3$\lim_{x\to\0} \frac{sin(x)}{x}=1 et 3$\lim_{x\to\0}\frac{2}{\sqrt{1+sin(x)}+\sqrt{1-sin(x)}}=1 car
\lim_{x\to\0}1+sin(x)=\lim_{x\to\0}1-sin(x)=1 et  3$\lim_{X\to\1}\sqrt{X}=1 donc 3$\lim_{x\to\0}\sqrt{1+sin(x)}=\lim_{x\to\0}\sqrt{1-sin(x)}=1 ...

ok ?

Posté par
justinedu35re : Défi: Limite de suite de fonction 31-10-07 à 13:19

Ok c'est bon je m'étais trompée lorque j'enlevais le carré, merci beaucoup!

Posté par
xunilre : Défi: Limite de suite de fonction 31-10-07 à 13:19

de rien

a+


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