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Démonstration

Posté par Profil Lexpate 23-09-15 à 01:48

Bonsoir,

Pour la classe de première S, concernant la décomposition unique d'un vecteur du plan sous la forme vec{w}=a\vec{u}+b\vec{v}, faites-vous la démonstration de cette propriété ?

Merci !

Posté par
EDP
re : Démonstration 25-09-15 à 00:52

J'imagine que tu notes (u,v) la base canonique de R^2
Au niveau première, ils ne savent pas ce qu'est un R-evn, donc tu dois y aller à l'existence et unicité.

Unicité : évidente en identifiant les coordonnées une à une (si deux vecteurs ont mêmes coordonnées ils ont égaux)
Existence : a = <w,u> et b = <w,v> où <.,.> est le produit scalaire euclidien sur R^2.
Sauf, que ça demande de construire le produit scalaire auparavant ; à moins de magouiller et de leur présenter le produit scalaire comme étant la fonction qui à deux vecteurs x,y associe ||x||.||y||.cos([x,y]), où [x,y] est la mesure principale de l'angle entre x et y en radians.

Posté par
lafol Moderateur
re : Démonstration 25-09-15 à 11:47

Bonjour
On a l'existence et l'unicité de la décomposition d'un vecteur dans une base dans tous les ev, pas seulement dans les evn ... c'est juste le fait qu'une base soit à la fois une famille libre et génératrice, qui intervient, pas besoin de structure euclidienne.
Bon, ils n'ont jamais entendu parler non plus de famille libre ni de famille génératrice, vous allez me dire...
On leur définit comment un vecteur du plan, actuellement ? "un truc qui a une direction, un sens et une longueur" ? si c'est ça ça doit être chaud pour faire des démos !

Posté par
carpediem
re : Démonstration 25-09-15 à 19:51

salut

malheureusement comment faire autrement ...

cependant après avoir donné cette définition on peut faire un travail très rigoureux de construction des opérations (somme, opposé, différence, ...) sur les vecteurs ... et en utilisant le plan c'est très visuel ...


en troisième j'avais appris qu'un vecteur est une classe d'équivalence pour la relation d'équipollence des bipoints
(j'avais vu auparavant ce qu'était une mesure algébrique bien sur)

je suis curieux de savoir combien de prof de math connaissent cette définition ....

Posté par
alb12
re : Démonstration 25-09-15 à 20:09

salut,
demo bien faite dans le manuel HYPERBOLE de premiere S
prerequis(seconde): regle du parallelogramme et vecteurs colineaires

Posté par Profil Lexpatere : Démonstration 25-09-15 à 21:05

Salut,

Dans le Symbole première S, la démo est bien faite aussi, et c'est sûrement la même que dans celle d'Hyperbole, puisque utilisant les mêmes prérequis.

La question que je posais est : est-il utile de la faire ? Elle permet en fait de leur faire découvrir le raisonnement par analyse-synthèse (existence/unicité).

Posté par
alb12
re : Démonstration 25-09-15 à 21:16

il n'y a pas de regle, tout depend du niveau des eleves.
Il y a surement plus interessant pour illustrer une preuve du type existence/unicite.
Beaucoup vont trouver ce resultat evident et ne verront pas la necessite d'une preuve.

Posté par
lafol Moderateur
re : Démonstration 25-09-15 à 23:10

carpediem @ 25-09-2015 à 19:51

salut


en troisième j'avais appris qu'un vecteur est une classe d'équivalence pour la relation d'équipollence des bipoints
(j'avais vu auparavant ce qu'était une mesure algébrique bien sur)

je suis curieux de savoir combien de prof de math connaissent cette définition ....


on doit avoir approximativement le même âge

Posté par
alb12
re : Démonstration 26-09-15 à 12:10

et on faisait la construction de Q à partir des classes d'equivalence en quatrieme.
La notion de classe d'equivalence etait vue en cinquieme.
Le pourcentage d'une classe d'age entrant en seconde n'etait pas celui d'aujourd'hui !

Posté par
carpediem
re : Démonstration 26-09-15 à 12:16

certes oui ... mais ce n'est pas parce qu'on "accepte tout le monde" qu'on doit baisser le niveau ...

plus précisément ce n'est pas parce qu'on accepte tout le monde que tout le monde ne doit pas savoir compter ....

l'objectif de l'instruction est d'accepter tout le monde et d'apprendre à compter à tout le monde ...

ou encore d'accepter tout le monde et d'apporter un savoir à tout le monde ...

Posté par
EDP
re : Démonstration 26-09-15 à 18:40

Oui lafol, je sais tout ça. C'est qu'au départ je parlais de norme 2 dans mon message, puis j'ai changé pour aller droit au but et j'ai oublié de retirer le n que j'avais rajouté.
Pas besoin non plus que l'espace vectoriel soit sur R au passage

Posté par
lafol Moderateur
re : Démonstration 26-09-15 à 18:43

tu as aussi oublié de retirer les produits scalaires < w,u > et < w,v > alors ?

Posté par
verdurin
re : Démonstration 26-09-15 à 23:51

Salut @carpediem

Citation :
en troisième j'avais appris qu'un vecteur est une classe d'équivalence pour la relation d'équipollence des bipoints
(j'avais vu auparavant ce qu'était une mesure algébrique bien sur)

je suis curieux de savoir combien de prof de math connaissent cette définition ....

Je l'ai enseigné.
Et je me souviens que les élèves de quatrième étaient étonnés et intéressés par le plan affine à quatre points \Bigl(\Z/2\Z\Bigr)^2
C'était dans un collège qui fut classé ZEP puis REP+ au fur et à mesure de l'existence de ce genre de classement.

J'ai l'impression que les programmes méprisent de plus en plus l'intelligence des élèves.

Pour en revenir à la question de @Lexpate, je pense qu'il est vraiment utile de faire cette démonstration.



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