Salut

Ya pas besoin de récurrence pour démontrer ce résultat... ça se montre directement en calculant le nombre d'applications qu'il existe d'un ensemble A dans un ensemble B.
Du moins, pour des ensembles finis, pour des ensembles non fini c'est hors de mes compétences...

Salut !

pour des cardinaux infini, c'est la définition de la puissance.

sinon, ca ce fait quand meme mieux par récurence (in fine, quand tu dénombre directement, c'est une récurence implicite que tu fais...)

par récurence sur le cardinal de B :

c'est vrai pour B=vide (cf la définition d'une application...)
si tu en doute, c'est encore plus claire pour B={x} (un application de B dans A etant alors uniquement déterminer par l'image de x ie un element quelconque de A...)

si c'est vrai pour (card B)-1, alors on prend x dans B, on considére l'application :

A^B -> A^(B-{x})

on vérifie facilement que tous element de l'image a exactement (card A) elements et donc (lemme des bergers... ) card(A^B)=cardA * card(A^(B-{x}) d'ou le résultat...