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Demonstration division euclidienne.

Posté par
JB07
23-11-07 à 19:37

Un petit probleme de demonstration sur la définition des divisions euclidienne. En prenant des exemples, l'égalité se confirme mais je n'arrive pas à demontrer en posant les divisions...

-------------------------------------
On considere la division euclidienne de n1 par D ayant pour quotient q1 et reste R1
On considere la division euclidienne de n2 par D ayant pour quotient q2 et reste R2
On pose : N = n1 * n2

Montrer que le reste R de la division  euclidienne de N par D est le meme reste que celui de la division euclidienne de R1*R2 par D.
-------------------------------------

Merci d'avance

Posté par dellys (invité)re : Demonstration division euclidienne. 23-11-07 à 19:45

Bonjour ?

Tu as n1=q1.d+r1
et    n2=q2.d+r2

alors n1.n2=(q1.d+r1)(q2.d+r2)=q1.q2.d²+r2.d+r1.q2.d+r1.r2=d(q1.q2+r2+r1.q2)+r1.r2

et voilà

w@lid

Posté par
pgeod
re : Demonstration division euclidienne. 23-11-07 à 19:46


bonjour,

n1 = D*q1 + r1
n2 = D*q2 + r2

calculer N = n1*n2 = (D*q1 + r1) (D*q2 + r2) = ...(à développer)
puis factorisez par D ce qui est factorisable dans l'expression.

...

Posté par dellys (invité)re : Demonstration division euclidienne. 23-11-07 à 19:47

Bonjour pgeod

w@lid

Posté par
pgeod
re : Demonstration division euclidienne. 23-11-07 à 19:48

bonjour dellys

Posté par
JB07
re : Demonstration division euclidienne. 23-11-07 à 19:52

Merci pour vos réponse je vais regarder ca de plus près et je reposterai si c'est pas clair dans ma tete...

Dans le meme temps on me demande de calculer des restes de division euclidienne de
6 exposant 17 par 26
14 exposant 17 par 26
18 exposant 5 par 26
entre autre...

Coment procéder sans poser betement la division? Ce qui est un peu pénible

Posté par
JB07
re : Demonstration division euclidienne. 23-11-07 à 20:17

En fait ce que je comprends pas c'est que en posant

n1.n2=(q1.d+r1)(q2.d+r2)... J'obtient en developpant et en factorisant par D :

N = n1 x n2 = d (q1.q2.d + q1.r2 + q2.r1 ) + r1.r2

Cela me donne N... jusque la OK !!

Maintenant comment voit-on que le reste de N PAR D est le meme que celui de R1xR2 par D ????? C'est la mon probleme !!! Merci !!

Posté par
JB07
Reste de Division Euclidienne de grand chiffre par x 24-11-07 à 00:13

Bonjour,

j'avais déjà posté cette question dans un autre post mais sans réponse !

Comment calcule t-on le reste d'une division euclidienne d'un grand nombre (Sans calculatrice et sans poser la division à la main bien sure !)

J'ai plusieurs exemple à faire :

Reste de 6 puissance 17 par 26.
Reste de 18 puissance 5 par 26.
Reste de 1111111 par 9

Merci d'avance car malgré plusieurs recherche je n'ai pas trouvé de reponse...

*** message déplacé ***

Posté par
plumemeteore
re : Reste de Division Euclidienne de grand chiffre par x 24-11-07 à 01:19

bonsoir
a b signifie ici que a et b donnent le même reste quand on les divise par 26

6^17 6*6^16
6*(6^8)²
6*(6^4)²)²
6*[((6²)²)²]²
6*((10²)²)²
6*(22²)²
6*16²
6*22
132 2

18^5 18*18^4
18*18²)²
18*((-8)²)²
18*12²
18*14
252 = 18

1111111 divisé par 9 a le même reste que la somme des chiffres désignée divisée par 9; ici le reste est 7

*** message déplacé ***

Posté par
JB07
re : Reste de Division Euclidienne de grand chiffre par x 24-11-07 à 10:25

Merci beaucoup pour ta réponse.

Je vois le cheminement mais je comprends pas comment passe tu de
6*[((6²)²)²]²
à
6*((10²)²)²

et
18*18²)²
à
18*((-8)²)²

Du coup je n'arrive pas à arriver au résultat... :s

Sinon pour le 111111 par 9, y'a t'il un moyen de demontrer ca ? car en fait le but de l'exercice est dans un premier temps trouver le reste de 111 par 9 puis 1111 / 9 etc... certainemement pour en déduire ce que tu m'as dit.

Ensuite pareil avec 111 / 7 , 1111 / 7 , 11111 / 7 ....

Merci en tous cas pour ton aide précieuse !

*** message déplacé ***

Posté par
JB07
Division euclidienne, comment montrer cette égalité? 25-11-07 à 23:45

Bonjour,

J'avais déjà posté ce probleme et j'ai avancé depuis mais je ne trouve toujours pas la solution... C'est pourquoi j'aurai besoin de vos lumières :

---------------PROBLEME----------------------
On considere la division euclidienne de n1 par D ayant pour quotient q1 et reste R1
On considere la division euclidienne de n2 par D ayant pour quotient q2 et reste R2
On pose : N = n1 * n2

Montrer que le reste R de la division  euclidienne de N par D est le meme reste que celui de la division euclidienne de R1*R2 par D.
---------------------------------------------
Donc si j'avais bien compris on a

n1 = q1*d + r1 soit r1 = n1 - q1*d
n2 = q2*d + r2 soit r2 = n2 - q2*d
n = n1*n2

On doit donc demontrer que R est le meme dans les deux equations :
r1*r2 par d ==> r1*r2 = d * Qr + R       // Qr = quotien de r1*r2 par d
n1*n2 par d ==> n1*n2 = d * Qn + R       // Qn = quotien de n1*n2 par d

On pose
n = n1 * n2 =        (q1*d + r1)(q2*d +r2) = d * Qn + R
            
    r1 * r2 =        (n1 - q1*d)(n2- q2*d) = d * Qr + R

D'ici meme en developpant et en tournant dans tous les sens , comment montrer que ces deux divisions euclidienne on le meme Reste ? (R est le meme dans les deux cas)... C'est peut etre évident mais j'y arrive pas !!

Merci d'avance en tout cas !!

*** message déplacé ***

Posté par
JB07
Division euclidienne de 111...11 par 9 et 1111... par 9 26-11-07 à 01:00

Bonjour,

voici un petit exercice ou je n'arrive pas à trouver la solution à part pour les premieres questions :


---------------------------------
1 ) Effectuer les divisions euclidienne de 1 par 9, 11 par 9, 111 par 9, ... 1111111111 par 9
2 ) Effectuer les divisions euclidienne de 1 par 7 , 11 par 7, 111 par 7, ... 1111111 par 7

Suite : Soit p un entier naturel se terminant par 1 , 3 , 7 ou 9
1)traduire avec des critère arithmétique  les caractéristique de p
2)On considère p+1 divisions euclidiennes : 1 par p, 11 par p, 111 par p jusquà 11...11 ((p+1) chiffres 1 ) par p
    a) montrer que 2 divisions euclidiennes parmi ces p+1 divisions euclidiennes ont le meme reste noté r.
    b)A l'aide de la définition de la DE et de la question précédente, en deduire deux égalités.
    3) Conclure en utilisant le théorème fondamental de l'arithmétique.
-----------------------------------

Merci d'avance pour votre aide sur ces questions car la je vois vraiment pas (Meme si au premiere question j'arrive à calculer les restes, à la main ou a la calculette, je suppose qu'il y'a une demarche plus logique pour les determiner...).

*** message déplacé ***

Posté par
dami22sui
re : Division euclidienne de 111...11 par 9 et 1111... par 9 26-11-07 à 03:12

Salut
1) Regarde la liste des nombres premiers (a part 2 et 5)
2) Une division euclidienne par p peut avoir les restes suivants: 0,1,2,...,p-1 soit p possibilites
Si on a p+1 divisions, il y en aura au moins une fois deux qui auront le meme resultat
Ceci ne repond pas aux questions de demonstration, mais pourra t'aider un peu


*** message déplacé ***

Posté par
raymond Correcteur
Division euclidienne, comment montrer cette égalité? 26-11-07 à 10:18

Bonjour.

Afin d'éviter des notations trop lourdes, je pose :

n = dq + r, n' = dq' + r' avec, par définition de la division 0 < r < d et 0 < r' < d

On a N = nn' = (dq + r)(dq' + r') = d(dqq' + qr' + rq') + rr' (I)

Effectuons alors la division de rr' par d : rr' = dQ + R, 0 < R < d (II)

En reportant (II) dans (I) :

N = nn' = d(dqq' + qr' + rq') + + dQ + R = d(dqq' + qr' + rq' + Q) + R, avec 0 < R < d.

C'est bien la définition de la division de N = nn' par d. Comme on sait que cette division est unique, R est bien le reste cherché.

*** message déplacé ***

Posté par
JB07
re : Division euclidienne, comment montrer cette égalité? 26-11-07 à 11:18

Merci pour la réponse !

*** message déplacé ***

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