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demonstration par recurrence

Posté par
siissou
16-12-09 à 16:27

bonjour tout le monde
J'ai beaucoup de mal avec les demonstrations par recurrence et j'ai un dm a faire c'est pour cel aque je sollicite votre aide
alors voici la question :
demontrer par recurrence que pour tout entier naturel n non n :
1²+2²+3²+4²+5²....+n²=(n(n+1)(2n+1))/6

Je vous remercie de votre aide

Posté par
mascate
re : demonstration par recurrence 16-12-09 à 16:38

bonjour!
3 étapes dans une telle démonstration:

- on vérifie que c'est vrai pour n=1
  en effet 1= (1.2.3)/6
-on suppose la formule vraie pour n-1
  cad on remplace n par n-1 dans la formule
  1²+2²+3²+.....+(n-1)²= ((n-1)n(2(n-1)+1))/6
  1²+2²+3²+.....+(n-1)²=((n-1)n(2n-1))/6

-on démontre que la formule est vraie pour n

1²+2²+3²+4²+5²....+n²=((n-1)n(2n-1))/6 =n²
1²+2²+3²+4²+5²....+n²= (n/6) [(n-1)(2n-1)+6n]
1²+2²+3²+4²+5²....+n²= (n/6)[2n²+3n+1]
1²+2²+3²+4²+5²....+n²=(n(n+1)(2n+1))/6

Posté par
siissou
re : demonstration par recurrence 16-12-09 à 16:54

tout d'abord je tiens a vous remercier de votre aide

Donc il faut a chaque fois calculer si cela est vrai au premier rang puis sur n-1 et enfin sur n+1.

Mais pour la 3ème étape je ne comprend pas d'où vient 1²+2²+3²+4²+5²....+n²=((n-1)n(2n-1))/6 =n²
le n² ??

Posté par
mascate
re : demonstration par recurrence 16-12-09 à 16:59

1²+2²+3²+4²+5²....+n²=((n-1)n(2n-1))/6 =n²faute de frappe désolée!
1²+2²+3²+4²+5²....+n²=((n-1)n(2n-1))/6 +n² j'ai remplacé 1²+2²+.....+(n-1)² par sa valeur et il reste n²

Posté par
djuste
re : demonstration par recurrence 16-12-09 à 17:02

Une démonstration par récurrence se fait en 3 étapes :
- la première consiste à montrer que la relation est vraie pour un n donné, très souvent n=0 ou n=1;
- la deuxième consiste à admettre que la relation est vraie au rang n, il faut alors démontrer qu'elle l'est au rang n+1
- la troisième est la conclusion qui affirme que la relation est vraie pour tout n.

Pour résumer,  si tu vérifies que la relation admise vraie au rang n l'est encore au rang n+1, tu démontres alors qu'elle le sera encore pour n+2 et ainsi de suite. Le tout est de commencer pour n=0 ou n=1 afin de montrer que c'est vraie pour n=2, puis 3, puis 4 et ainsi de suite.

Donc ici,

Pour n=1, tu t'aperçois que \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=1, donc la relation est vraie. La première étape s'achève ici.

Seconde étape : tu admets que la relation est vraie jusqu'au rang n, donc \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\sum_{k=1}^n k^2, il reste à démontrer que c'est vrai au rang n+1. Pour  le faire, on reprend la fraction au rang n supposée vraie, on lui ajoute (n+1)^2 :

\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2=\frac{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2}{6}

On factorise par (n+1) au numérateur :
\frac{n(n+1)(2n+1)+(n+1)^2}{6}=\frac{(n+1)[n(2n+1}+6(n+1)}{6}=\frac{(n+1)(2n^2+7n+6)}{6}

Or 2n^2+7n+6=(n+2)(2n+3), donc \frac{(n+1)(2n^2+7n+6)}{6}=\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}
 \\

Donc en remplaçant n par n+1 dans l'expression, tu démontres que la relation est vraie au rang n+1.

Posté par
bonobo
re : demonstration par recurrence 18-02-12 à 17:41

Excellente explication ! Merci !

Posté par
fluu
re : demonstration par recurrence 28-09-14 à 17:41

Bonjour,
Je ne comprends pas en quoi trouver le résultat (n+1)(n+2)(2n+3)/6 montre que la  propriété au rang n+1 est vraie ? Nous ne devrions nous pas retomber sur n(n+1)(2n+1)/6 ?

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