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Niveau seconde
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Démontrer une conjecture !

Posté par
lolidu84
22-12-10 à 11:14

Bonjour ( un petit dialogue entre son professeur et son élève pour mieux comprendre l'exercice qui suit ... )
Pouvez vous m'aidez j'ai bien du mal !

E-Les valeurs extrêmes ? Cela est mystérieux
Il existerait un lien entre ces deux nombres, la médiane et la moyenne ?
P-Oui un magnifique lien, il existe toujours un lien entre les termes extrêmes, la médiane et la moyenne ...
E-Ça y est j'ai trouvé , comment peut-on faire monsieur ?
P-Démontrer c'est la clé ! Que la force soit avec vous !

exemple: 30+31+32+...+129+130+131.
Moyenne: 80.5
Terme médian: 80.5

Démontrer la conjecture
Aide: on identifiera les termes de la somme à des valeurs x1, x2 , ... , xn
avec le premier terme a=x1 et le dernier terme b=xn ;
et c l'écart constant entre les deux termes successifs !
On calculera la Moyenne M en fonction de a et b .

Merci ! Aidez moi !

Posté par
lolidu84
re : Démontrer une conjecture ! 22-12-10 à 21:13

S'il vous plait aidez moi !!!!!!!!!!!!!!!!!!

Posté par
UGERNUM2
re : Démontrer une conjecture ! 22-12-10 à 22:36

bonsoir lolidu84
Pour calculer cette moyenne comme d'habitude fais la somme des termes et divise par n
sans oublier que si le premier est a, le deuxième est a+c, le troisième a+2c, le nième b=a+(n-1)c
Mets alors c en facteur

Posté par
lolidu84
re : Démontrer une conjecture ! 23-12-10 à 11:30

je n'ai absolument rien compris

On me dit a=x1 et le dernier terme b=xn

c l'écart constant entre les deux termes successifs

Il bien calculer la moyenne en fonction de a et b ( les valeurs extrêmes donc!)

Aidez moi !

Posté par
UGERNUM2
re : Démontrer une conjecture ! 23-12-10 à 11:42

je croyais que tu étais parti
as tu fait ce que je t'ai dit

Posté par
UGERNUM2
re : Démontrer une conjecture ! 23-12-10 à 11:52

j'attends de tes nouvelles pour pouvoir continuer.
Ecris l'égalité correspondant à une moyenne et utilise ce que je te disais à 22h 36

Posté par
lolidu84
re : Démontrer une conjecture ! 23-12-10 à 12:00

oui mais je n'ai pas compris justement !

Posté par
UGERNUM2
re : Démontrer une conjecture ! 23-12-10 à 12:05

je te donne le départ
moyenne=(a+(a+c)+a+2c)+(a+3c)+...+(a+(n-1)c)/n
Surtout il faut que tu écrives sinon on ne pourra pas avancer

Posté par
lolidu84
re : Démontrer une conjecture ! 23-12-10 à 12:06

L'égalité:

M = a + a+c + a+2c + a+(n-1)c / n

???

Posté par
lolidu84
re : Démontrer une conjecture ! 23-12-10 à 12:08

pourquoi on me dit a=x1 et b=xn

il faut remplacer non ?

Posté par
UGERNUM2
re : Démontrer une conjecture ! 23-12-10 à 12:08

Comment fais tu pour calculer ta moyenne tu additionnes bien tes notes et tu divises par le nombre de notes. Je te laisse un moment le repas est prêt mais je ne t'abandonne pas

Posté par
lolidu84
re : Démontrer une conjecture ! 23-12-10 à 12:39

M=
(a+(a+c)+a+2c)+(a+3c)+...+(a+(n-1)c)/n
(3a + 3c ) + ( a+ 3c + a + nc -c )
(3a + 3c + 2a + nc + 2c )
( 5 a +5c + nc ) / n
5a + 6c

cela me parait bizarre non ? on ne sait pas combien il y a de valeurs , de termes on ne peut pas trouver de résultat juste ???

Posté par
UGERNUM2
re : Démontrer une conjecture ! 23-12-10 à 12:57

si tu sais qu'il y a n valeurs
quand tu as 2 termes additionnés tu as 2a+1c quand tu as 3 termes tu as 3a+2c quand tu as 4 termes tu as 4a+3c, quand tu as 5 termes tu as ... quand tu as 6 termes ... et enfin quand tu as n termes tu as ... donne moi la réponse correspondant à chacun des trois pointillés

Posté par
lolidu84
re : Démontrer une conjecture ! 23-12-10 à 13:03

5 termes tu as 5a+4c
6 termes tu as 6a+5c
n termes tu as a+c

Posté par
UGERNUM2
re : Démontrer une conjecture ! 23-12-10 à 13:08

mais non pour 3 termes tu as bien 3a+(3-1)a pour 4 termes 4a+(4-1)a pour 5termes 5a+(5-1)a donc pour n termes ...

Posté par
UGERNUM2
re : Démontrer une conjecture ! 23-12-10 à 13:10

excuse moi mais c'est 3a+(3-1)c 4a+(4-1)c 5a+(5-1)c voila ce qui arrive quand on ne relit pas

Posté par
lolidu84
re : Démontrer une conjecture ! 23-12-10 à 13:10

post 12h57 vous me disiez
3 termes 3a+2c ...

Posté par
lolidu84
re : Démontrer une conjecture ! 23-12-10 à 13:11

donc j'avais juste ?!

Posté par
UGERNUM2
re : Démontrer une conjecture ! 23-12-10 à 13:13

ce que tu as marqué au début est juste mais ce qui nous intéresse c'est la généralisation donc j'essaie de te la faire deviner et ce n'est pas a+c

Posté par
lolidu84
re : Démontrer une conjecture ! 23-12-10 à 13:14

je ne vois vraiment pas !

Posté par
UGERNUM2
re : Démontrer une conjecture ! 23-12-10 à 13:16

imagine que l'on s'arrête au 36eme terme comment ferais tu pour savoir le nombre de a et le nombre de c

Posté par
lolidu84
re : Démontrer une conjecture ! 23-12-10 à 13:18

tout se mélange là ! je n'y comprends plus rien ! On est bien daccord a est le premier terme ( x1 ) et le dernier terme b (xn) c l'écart entre 2 nombres successifs ?

Posté par
UGERNUM2
re : Démontrer une conjecture ! 23-12-10 à 13:21

exact mais réponds moi si l'on s'arrête à 36 termes combien de a et combien de c?

Posté par
lolidu84
re : Démontrer une conjecture ! 23-12-10 à 13:22

et bien 36a et 35c

Posté par
UGERNUM2
re : Démontrer une conjecture ! 23-12-10 à 13:25

très bien ou encore 36a et  (36-1)c
Sous la même forme que je viens de te donner, donne moi les résultats pour
72 termes, 84 termes, 428 termes et enfin n termes

Posté par
lolidu84
re : Démontrer une conjecture ! 23-12-10 à 13:30

72 termes 72a et (72-1)c
84 termes 84a et (84-1)c
428 termes 428a et (428-1)c

n termes je ne vois tjrs pas
quand on dit 72a c'est 72 fois la première valeur ?
pourquoi on ne met pas 72x1

????????????????

Posté par
UGERNUM2
re : Démontrer une conjecture ! 23-12-10 à 13:35

tu peux écrire 72xa mais quand il y a des lettres pour éviter de confondre multiplier et la lettre x on ne met plus multiplié
par contre pour n termes tu auras na et (n-1)c tout simplement
Maintenant reprends le Posté le 22-12-10 à 22:36 et surtout encore une fois ne crains pas d'écrire

Posté par
lolidu84
re : Démontrer une conjecture ! 23-12-10 à 13:36

peut être

na et (n-1)c

Posté par
UGERNUM2
re : Démontrer une conjecture ! 23-12-10 à 13:39

oui et relis Posté le 23-12-10 à 13:35

Posté par
lolidu84
re : Démontrer une conjecture ! 23-12-10 à 13:40

moyenne=(a+(a+c)+a+2c)+(a+3c)+...+(a+(n-1)c)/n

cela est juste je dois continuer en simplifiant ?

Posté par
UGERNUM2
re : Démontrer une conjecture ! 23-12-10 à 13:46

Ce n'est pas tellement une histoire de simplification mais surtout une histoire de réduction en mettant d'une part a en facteur (pas très compliqué), mais la mise en facteur de c pour obtenir (...a+...c)/n

Posté par
lolidu84
re : Démontrer une conjecture ! 23-12-10 à 13:49

Pouvez vous m'aidez en me donnant le début a quoi sert na+(n-1)c  ?????

je suis complètement perdu

Posté par
lolidu84
re : Démontrer une conjecture ! 23-12-10 à 13:55

Posté par
UGERNUM2
re : Démontrer une conjecture ! 23-12-10 à 14:03

\frac{a+(a+c)+(a+2c)+(a+3c)+...+(a+(n-1)c)}{n}=\frac{a+a+c+a+2c+a+3c+...+a+(n-1)c}{n}=\frac{(1+1+1+...+1)a+(1+2+3+...+(n-1))c}{n}

Posté par
lolidu84
re : Démontrer une conjecture ! 23-12-10 à 14:08

comment avez vous fait pour passer du 2eme au 3eme

Posté par
lolidu84
re : Démontrer une conjecture ! 23-12-10 à 14:10

non c'est bon j'ai compris vous avez factorisé faut-il le réduire encore???

Posté par
lolidu84
re : Démontrer une conjecture ! 23-12-10 à 14:12

on me dit bien en fonction de a et b il n'y a pas de b?!

Posté par
UGERNUM2
re : Démontrer une conjecture ! 23-12-10 à 14:14

oui bien sûr combien de a et surtout que vaut 1+2+3+...+(n-1). tu dois avoir appris la formule donnant la somme des n premiers entiers naturels

Posté par
lolidu84
re : Démontrer une conjecture ! 23-12-10 à 14:18

non je ne l'ai pas appris

Posté par
lolidu84
re : Démontrer une conjecture ! 23-12-10 à 14:27

Posté par
UGERNUM2
re : Démontrer une conjecture ! 23-12-10 à 14:29

Es tu bien sûr de ne pas avoir appris la somme des n entiers premiers naturels est n(n+1)/2 et bien sûr des n-1 premiers entiers naturels est n(n-1)/2
ainsi 1+2+3+4+5=5(5+1)/2=15

Posté par
lolidu84
re : Démontrer une conjecture ! 23-12-10 à 14:34

oui j'en suis sûre !!!!

que faut il faire après post 14h03 ??

Posté par
UGERNUM2
re : Démontrer une conjecture ! 23-12-10 à 14:36

je dois partir je reprendrai en revenant et n'oublie pas que b=a+(n-1)c

Posté par
lolidu84
re : Démontrer une conjecture ! 23-12-10 à 14:38

vous revenez vers quelle heure ???

Posté par
plumemeteore
re : Démontrer une conjecture ! 23-12-10 à 15:03

Bonjour Loly.
a étant le plus petit nombre et n le nombre d'éléments, le plus grand nombre est a+n-1
On regroupe les nombres par 2 comme suit :
a a+n-1
a+1 a+n-2
a+2 a+n-3
...
comme on ajoute toujours 1 à gauche et qu'on soustrait toujours 1 à droite, la somme des lignes reste la même : 2a+n-1

premier cas : n est pair
il y a n/2 lignes; la somme de leurs sommes est le total de tous les nombres : (n/2)*(2a+n-1)
la moyenne est (n/2)*(2a+n-1) / n = (2a+n-1)/2 = a+(n-1)/2
la médiane :
la première moitié de la série des nombres s'arrête au bas de la colonne de gauche : a+(n/2)-1; la deuxième moitié de la série des nombres commence au bas de la colonne de droite (et continue en remontant) : a+(n/2)-1 + 1 = a+(n/2)
la médiane est la moyenne entre ces deux nombres :
[a+(n/2)-1+a+(n/2)]/2 = (2a+n-1)/2 = a+(n-1)/2
la médiane est donc égale à la moyenne

deuxième cas : n est pair
il y a (n-1)/2 lignes complètes; la somme de leurs somme est ((n-1)/2)*(2a+n-1)
à cela, il faut ajouter le nombre du milieu de la série des nombres; il est juste supérieur au nombre du bas de la colonne de gauche
le nombre du bas de la colonne de gauche est a+((n-1)/2)-1; le nombre du milieu est a+(n-1)/2; ce nombre du milieu est par la même occasion la médiane de la série
la somme totale de la série est :
(n-1)/2)*(2a+n-1) + a+(n-1)/2
= (n-1)/2)*(2a+n-1) + (2a+n-1)/2
= (2a+n-1)*[((n-1)/2)+(1/2)]
= (2a+n-1)*(n/2)
la moyenne est (2a+n-1)*(n/2)/n = (2a+n-1)/2 = a+(n-1)/2
donc la moyenne est égale à la médiane

par ailleurs, on constate que la moyenne et la médiane s'expriment de la même façon que n soit pair ou impair

Posté par
lolidu84
re : Démontrer une conjecture ! 23-12-10 à 15:42

le post de ugernum2 est il juste ?


comment faut-il faire pour démontrer la conjecture ?

REPRENEZ l'exo !

merci

Posté par
lolidu84
re : Démontrer une conjecture ! 23-12-10 à 17:35

ugernum2

Pourriez vous finir la démonstration de la conjecture suite du Poste  23-12-10 à 14:03

MERCI !

Posté par
UGERNUM2
re : Démontrer une conjecture ! 23-12-10 à 20:15

voilà je suis de retour
en utilisant la formule que tu ne sembles pas connaître(je pensais que les suites arithmétiques étaient connues en seconde)
on a donc à la suite du Posté le 23-12-10 à 14:03
\frac{na+n(n-1)c/2}{n}=\frac{2na+n(n-1)c}{2n}=\frac{2a+(n-1)c}{2}=\frac{a+a+(n-1)c}{2}
Comme rappelé Posté le 23-12-10 à 14:36 b=a+(n-1)c
\frac{a+b}{2}
En espérant ne pas avoir d'erreurs d'écriture. Si qqchose coince dis le. Sinon Bon courage et passe de bonnes fêtes

Posté par
lolidu84
re : Démontrer une conjecture ! 24-12-10 à 10:18

bonjour,
merci dabord

mais êtes vous sur que le prof attend ca de moi ?!

en plus j'ai l'impression que ca ne marche pas !

ex: 2-5-8-12-14-19

2+19/2=10.5

2-5-8-12-14-19/6= 10

????

Posté par
lolidu84
re : Démontrer une conjecture ! 24-12-10 à 10:41

une autre question :

comment vous faites pour passer de

na+ n(n-1)c/2 /  n  = 2 na + n(n-1)c / 2 = 2a + (n-1)c / 2

merci de m'expliquer précisément !

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