Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Licence Maths 1e ann AnalyseTopics traitant de analyse [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Licence Maths 1e ann
Partager :

Démontrer une somme

Posté par
321iom 18-10-09 à 10:16

Bonjour, je suis actuellement en L1 MPI et je bloque sur une démonstration.
Soit a un réel et n un entier, montrer que
(1+a)(1+a2)(1+a4)...(1+a2n)=1+a+a2+a3+...+a2^(n+1)-1
le ^(n+1) porte seulement sur le deux ^^.
Donc moi j'ai pensé a une démonstration par recurrence vu que n est un entier, donc pas de pb pour linitialisation, mais pour démontrer au rang n+1 je bloque je trouve
( a2^(i+1)-1)(1+a2^(n+1)) avec i variant de 0 a n
où  ( a2^(i+1)-1) correspond a mon hypothèse de récurrence et si je développe je trouve
( a2^(i+1)-1)+( a2^(n+1)+2^(i+1)-1)
j'avoue que je ne maitrise pas beaucoup le symbole sigma et je me doute que j'ai commis ou une erreur, ou loupé une simplification, et c'est pour cela que je m'adresse a vous pour m'aider a mieux comprendre, voir même me réorienter vers une démonstration plus simple que par récurrence dans ce cas présent. Merci beaucoup =)

Posté par
MatheuxMatoure : Démontrer une somme 18-10-09 à 10:31

bonjour
Tu es sûr que la dernière puissance de a dans le membre de gauche est "2n" et pas "2n" ?

Posté par
321iomre : Démontrer une somme 18-10-09 à 10:40

Bonjour ^^ oui en effet la dernière puissance c'est bien 2 n, j'ai fait une faute de frappe, mais dans la suite du calcul j'ai bien utilisé la bonne puissance^^

Posté par
MatheuxMatoure : Démontrer une somme 18-10-09 à 10:42

moi je verrais une démonstration directe... mais pas forcément évidente à rédiger :

quand on développe brutalement le membre de gauche :
1) on obtient une somme de puissances de "a"
2) la puissance minimale est 0 et la maximale est 1+2+4+8+...+2n=2n+1-1
3) il y a 2n+1 termes dans le développement (car n+1) parenthèses)
4) chaque terme du développement est du type ai et si la décomposition en binaire de i est de la forme i0+i1*2+i2*22+...+in*2n, alors on trouve ce terme en prenant le "1" dans chaque parenthèse correspondant à un ik=0 et en prenant le "a2[sup]k[/sup]" dans les parenthèses correspondant à un ik0
5) chaque nombre entier i allant de 0 à 2n+1-1 se décompose de façon unique en binaire et va donc se retrouver dans le développement
6) donc tous les coefficients des ai pour i allant de 0 à 2n+1-1 valent 1
7) on obtient bien la somme de droite

Posté par
MatheuxMatoure : Démontrer une somme 18-10-09 à 10:47

cela dit, ta récurrence fonctionne très bien, c'est parce que tu as mal écrit tes sommes
attends, je te les ré-écris correctement :

Posté par
MatheuxMatoure : Démontrer une somme 18-10-09 à 10:57

on veut montrer que le produit de gauche vaut 4$\sum_{i=0}^{i=2^{n+1}-1}a^i

quand tu veux passer au rang suivant, tu obtiens donc

4$\(1+a^{2^{n+1}}\)\sum_{i=0}^{i=2^{n+1}-1}a^i \\ =\(\sum_{i=0}^{i=2^{n+1}-1}a^i\) + \(\sum_{i=0}^{i=2^{n+1}-1}a^{i+2^{n+1}}\)

et dans ta dernière somme tu pose j=i+2n+1

4$=\(\sum_{i=0}^{i=2^{n+1}-1}a^i\) + \(\sum_{j=2^{n+1}}^{j=2^{n+1}+2^{n+1}-1}a^j\) \\ =\(\sum_{i=0}^{i=2^{n+1}-1}a^i\) + \(\sum_{j=2^{n+1}}^{j=2^{n+2}-1}a^j\)

et en recollant les deux sommes tu obtiens ton résultat

MM

Posté par
321iomre : Démontrer une somme 18-10-09 à 11:10

Oh tout juste j'avais même pas remarque mon erreur sur la somme, j'avoue que je ne maitrise que très peu le système binaire donc je doute pouvoir correctement rédiger la démonstration brute, mais j'ai bien compris le principe pour la récurrence donc c'est parfait ^^ j'en ai une autre un peu du même genre a faire plus loin dans mon dm, je pense pouvoir la faire maintenant que je comprend mieux le principe de sigma, encore merci pour ton aide, bon dimanche ^^

Posté par
MatheuxMatoure : Démontrer une somme 18-10-09 à 11:22

pas de quoi, ce fut un plaisir

bon dimanche à toi

MM


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1674 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !