salut

la suite définie par:

u_n=x+(x+y)/2ⁿ⁺¹ avec x<y répond à ta question....

Bonjour

En effet les propositions suivantes sont équivalentes:

(i) Pour tout couple (x,y) de rationnels tels que x < y, on a rationnel.

(ii) Pour tout couple (x,y) de rationnels tels que x < y, l'ensemble est infini dénombrable.

Il est clair que (ii) entraine (i).
Si on suppose (i) vraie, on prend dans ]x,y[, puis dans et ainsi de suite...

(i) est évidemment vraie, il n'y a qu'à prendre t=(x+y)/2. Remarque que l'on pourrait aussi prendre directement .

Enfin, comme Q est dénombrable, aucune de ses parties ne peut être "plus que dénombrable".

salut camélia

oui j'ai été un peu vite pour écrire mon u_n

Salut carpediem; en fait, pourquoi prendre x et y rationnels? Les résultats sont vrais, même si on ne peut plus écrire les formules que nous avons données.

oui mais alors ne faut-il pas utiliser un argument de densité ?
(pour admettre l'existence d'au moins un rationnel)

Ok merci beaucoup pour cet éclaircissement !
Juste encore une petite question :
pourquoi prendre ton tn, plutôt que prendre  :
qn= (x+y) / 2^n ?

Pour être sûre que j'ai bien compris : est-ce ça le raisonnement juste?

On prend à chaque fois les milieux des segments ( ceux ci existent grâce à i ) )
et il y en a donc une infinité.
Et il faut donc démontrer àpart que Q est dénombrable et le résultat est démontré.

q_n tend vers 0 et n'est pas toujours entre x et y...

Ah oui d'accord !!
Je viens de comprendre !
Ok, merci !