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Dérivées partielles d'une fonction à deux variables

Posté par
matlo006
30-11-13 à 18:30

Bonjour à tous, je bloque un peu sur le chapitre de différentiabilité et je n'arrive pas à répondre aisément aux question sur les dérivées partielles.
Notre prof ne nous corrige pas tous les exos de TD, j'aimerais avoir une aide sur un par exemple

Il faut d'abord justifier l'existence, puis déterminer les dérivées partielles
f(x,y)= x2sin(y/x) si x non nul
et f(0,y)= 0


On voit que f est continue si x non nul comme composée de telles fonctions
Il faudrait donc montrer la continuité en x=0 ?
Par où devrais-je commencer pour montrer l'existence? merci d'avance.

Posté par
romu
re : Dérivées partielles d'une fonction à deux variables 30-11-13 à 19:41

Salut,

il faut montrer la continuité en (x,y) = (0,0) (c'est une fonction définie sur IR²).

Posté par
lafol Moderateur
re : Dérivées partielles d'une fonction à deux variables 30-11-13 à 22:07

Bonsoir
indice : |\sin a|\leq 1\quad\quad  \forall a...

Posté par
matlo006
re : Dérivées partielles d'une fonction à deux variables 01-12-13 à 14:05

Bonjour, tout d'abord merci pour vos réponses.
Alors, si x est non nul la dérivabilité est possible:
et on a
∂f/∂x = 2.x.sin(y/x) - y.cos(y/x)
∂f/∂y = x²/x.cos(y/x) = x.cos(y/x)
On remarque bien que ces dérivées existent ssi x est non nul.

Pour x nul, j'ai montré que lim ((f(0,a+h) - f(0,a))/h ) = 0 (avec h tend vers 0). J'ai montré cela en passant par la valeur absolue (merci à lafol pr l'indice).
Ainsi, on aurait ∂f/∂y (0,a)= 0  (avec a réel)

Est-ce bien cela ? Pour les dérivées partielles d'ordre 2, elles n'existent donc que pour x non nul non ?

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