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Dérivées partielles d'une fonction à deux variables


licenceDérivées partielles d'une fonction à deux variables

#msg4929897#msg4929897 Posté le 30-11-13 à 18:30
Posté par Profil matlo006

Bonjour à tous, je bloque un peu sur le chapitre de différentiabilité et je n'arrive pas à répondre aisément aux question sur les dérivées partielles.
Notre prof ne nous corrige pas tous les exos de TD, j'aimerais avoir une aide sur un par exemple

Il faut d'abord justifier l'existence, puis déterminer les dérivées partielles
f(x,y)= x2sin(y/x) si x non nul
et f(0,y)= 0


On voit que f est continue si x non nul comme composée de telles fonctions
Il faudrait donc montrer la continuité en x=0 ?
Par où devrais-je commencer pour montrer l'existence? merci d'avance.
re : Dérivées partielles d'une fonction à deux variables#msg4930055#msg4930055 Posté le 30-11-13 à 19:41
Posté par Profil romu

Salut,

il faut montrer la continuité en (x,y) = (0,0) (c'est une fonction définie sur IR²).
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re : Dérivées partielles d'une fonction à deux variables#msg4930267#msg4930267 Posté le 30-11-13 à 22:07
Posté par Profil lafol Moderateur

Bonsoir
indice : |\sin a|\leq 1\quad\quad  \forall a...
re : Dérivées partielles d'une fonction à deux variables#msg4931141#msg4931141 Posté le 01-12-13 à 14:05
Posté par Profil matlo006

Bonjour, tout d'abord merci pour vos réponses.
Alors, si x est non nul la dérivabilité est possible:
et on a
∂f/∂x = 2.x.sin(y/x) - y.cos(y/x)
∂f/∂y = x²/x.cos(y/x) = x.cos(y/x)
On remarque bien que ces dérivées existent ssi x est non nul.

Pour x nul, j'ai montré que lim ((f(0,a+h) - f(0,a))/h ) = 0 (avec h tend vers 0). J'ai montré cela en passant par la valeur absolue (merci à lafol pr l'indice).
Ainsi, on aurait ∂f/∂y (0,a)= 0  (avec a réel)

Est-ce bien cela ? Pour les dérivées partielles d'ordre 2, elles n'existent donc que pour x non nul non ?

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