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Déterminant d'une matrice

Posté par
Smirn 09-10-08 à 17:17

Bonjour à tous !
Voila, je n'arrive pas à retrouver le polynôme caractéristique de la matrice suivante :

|9    16    -8|
|-3   -7     2|
|12   16  -11|

D'après mon professeur, le résultat est (X)= -(X+3)3 , mais je ne sais pas comment l'obtenir...

Merci d'avance !

Posté par
raymond Correcteurre : Déterminant d'une matrice 09-10-08 à 17:25

Bonjour.

J'appelle L(i) la ligne i, C(j) la colonne j.

1°) Transforme L(1) en L(1)-L(3). Tu vois apparaître (X+3) en facteur.

2°) Après avoir mis X+3 (ou -X-3) en facteur, ajoute C(1) et C(3)

Posté par
Smirnre : Déterminant d'une matrice 09-10-08 à 17:39

En effet...
Merci beaucoup pour cette réponse rapide
Une autre petite question cependant... Comment conclure sur la possibilité de diagonaliser la matrice à  partir de ce même polynôme ?
Plus précisément, comment, à partir d'un polynôme caractéristique possédant des racines multiples, conclure sur le fait que la matrice soit diagonalisable ou non ?

Posté par
1 Schumi 1re : Déterminant d'une matrice 09-10-08 à 17:47

Salut

Le polynôme caractéristique à lui seul n'est pas suffisant. Soit tu vas chercher la dim des sous-espaces associées à la main pour pouvoir conclure, soit tu regardes le poly minimale.

Posté par
raymond Correcteurre : Déterminant d'une matrice 09-10-08 à 18:26

Bonjour 1 Schumi 1.

Ici, -3 est valeur propre d'ordre 3, donc la matrice n'est certainement pas diagonalisable.

En effet, si elle l'était, elle serait semblable à -3I3, ce qui est faux.

Posté par
1 Schumi 1re : Déterminant d'une matrice 09-10-08 à 18:30

Salut

Oups... j'aurai mieux fait de réfléchir avant de parler...

Posté par
raymond Correcteurre : Déterminant d'une matrice 10-10-08 à 12:13

Rebonjour.

En calculant la matrice N = A+3I, on trouve une matrice de rang 1 :

2$ N \ = \ \begin{pmatrix}12&16&-8\\-3&-4& \ 2\\12&16&-8\end{pmatrix}

Son noyau est le plan d'équation : 3x + 4y - 2z = 0

En choisissant dans ce plan deux vecteurs judicieux :

2$ e_1 \ = \ \begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix} \ e_2 \ = \ \begin{pmatrix}4\\-1\\4\end{pmatrix}

on cherche alors e3 tel que N soit semblable à :

2$ N^' \ = \ \begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}

Il suffit de résoudre l'équation Ne3 = e2

Cela donne par exemple :

2$ e_3 \ = \ \begin{pmatrix}1\\-1\\-1\end{pmatrix}

Finalement, sur la base B = (e1,e2,e3), A sera semblable à :

2$ A^' \ = \ \begin{pmatrix}-3&0&0\\0&-3&1\\0&0&-3\end{pmatrix}


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