Bonjour,
voici l'énoncé :
Soit la fonction f réelle à deux variables réelles définie par :
f(x1,x2) = x1,x22 + 2x12 + x22
a) Determiner gradient et la matrice Hessienne de la fonction f.
J'ai trouvé :
grad F(x) = ( x22 + 4x1 )
( 2x1x2 + 22 )
H f(x) = ( 4 ; 22 )
( 2x2 ; 21 + 2)
b) Déterminer les extrema libres de cette fonction f.
Est-ce que quelqu'un peut m'indiquer comment procéder ? Merci
il faut écrire la formule de taylor qui donnera le signe de f(x1+h,x2+k)-f(x1,x2)
pour avoir un extremum local on veut que ce signe soit localement invariant. On évalue ce signe avec les premiers termes non nuls en (x1,x2) de Taylor
il faut donc d'abord que la différentielle première donnée par le gradiant soit nulle (car un polynôme degré 1 en h et k change toujours de signe au voisinage de (0,0))
ensuite la différentielle seconde est un polynôme homogène de degré 2 en h et k (ou une forme quadratique si tu connais ce mot)dont les coeffs sont donnés par le Hessien
pour avoir un extrema il faut que ce terme garde un signe cst positif ou negatif. pour cela on doit pouvoir l'écrire
comme somme de deux carrés
ou
comme -(somme de deux carrés)
si ce n'est pas le cas c'est une différence de carrés et comme cela change de signe localement cela donne un point selle comme une selle de cheval ou un col en montagne
Salut
Ne serait-il pas plus simple dans un premier temps de regarder les points où la différentielle de f est nulle? (les extremas locaux sont des points de nullité de la différentielle).
Après regarde si la matrice hessienne est définie positive ou négative. Lorsqu'elle n'est ni définie positive ni définie négative, là, faut faire une étude un peu plus pousser mais en général ça permet de simplifier pas mal l'étude...
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