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Determiner les entiers p ; arithémtique

Posté par
7MK
07-12-16 à 19:34

Bonjour/Bonsoir tout le monde

Je n'arrive pas à répondre à la dernière question d'un exercice sur l'arithmétique . Pouvez vous m'aider s'il vous plaît ?

Exercice

1)Résoudre dans × l'équation : 143x-100y = 1
2)Déterminer l'ensemble des entiers p tels que

105p+103p-2 0 [143]

En 1) j'ai trouvé x = 100k+7 et y = 143k+10 avec k

Pour le 2) je n'ai vraiment pas d'idées

Merci de m'aider.

Posté par
luzak
re : Determiner les entiers p ; arithémtique 07-12-16 à 23:14

Bonsoir !
Vois ce que tu peux faire avec 10^{5p}+10^{3p}=10^{3p}(10^{2p}+1) et tu as trouvé précédemment 10^3\equiv ? [143]

Posté par Profil etudiantiloisre : Determiner les entiers p ; arithémtique 07-12-16 à 23:21

Bonsoir luzak,

Désolé de venir sur ce post, mais pourriez-vous m'aider avec mon sujet intitulé Limite de fonction s'il vous plait ? J'ai vraiment besoin d'aide avant mon contrôle de demain matin...

Merci beaucoup d'avance pour votre aide.

Posté par
7MK
re : Determiner les entiers p ; arithémtique 08-12-16 à 20:20

luzak @ 07-12-2016 à 23:14

Bonsoir !
Vois ce que tu peux faire avec 10^{5p}+10^{3p}=10^{3p}(10^{2p}+1) et tu as trouvé précédemment 10^3\equiv ? [143]


103 -1 [143] ; 103 142 [143]

Posté par
luzak
re : Determiner les entiers p ; arithémtique 09-12-16 à 08:01

Il te reste à trouver le reste de 10^2p}+1 modulo 143.
Il sera peut-être utile de poser 2p=3q+r,\;r=0,1,2

Posté par
7MK
re : Determiner les entiers p ; arithémtique 11-12-16 à 00:38

Ok merci luzak de m'aider

luzak @ 09-12-2016 à 08:01

Il te reste à trouver le reste de 10^2p}+1 modulo 143.
Il sera peut-être utile de poser 2p=3q+r,\;r=0,1,2


J'ai compris votre première phrase mais pas la seconde. En fait si je comprends bien il suffirait de montrer maintenant que 102p+1 0 [143]. Et comment le montre-t-on ?

Pourquoi pose t on que 2p = 3q+r ? je veux dire pourquoi choisit t on de diviser par 3 ?

Merci d'avance

Posté par
luzak
re : Determiner les entiers p ; arithémtique 11-12-16 à 09:49

Citation :
En fait si je comprends bien il suffirait de montrer maintenant que 102p+1 0 [143]. Et comment le montre-t-on ?

On ne le montre pas car ce n'est vrai pour tout p.

Citation :
Pourquoi pose t on que 2p = 3q+r ? je veux dire pourquoi choisit t on de diviser par 3 ?

Parce que tu connais le reste de 10^3.
En écrivant 10^{2p}=10^{3q+r}=(10^3)^q\,10^r tu remplaces 10^3 par son reste, tu  élèves à la  puissance q et tu multiplies par le reste de 10^r qui est facile à calculer : il n'y a que trois calculs à faire.

Posté par
7MK
re : Determiner les entiers p ; arithémtique 11-12-16 à 14:01

Je ne sais pas si j'ai bien compris

103q+r + 1 0 [143]
(-1)q ×10r + 1 0 [143]

Pour tout r 10r 1 [3]

(-1)q -1 [143]

q = k avec k

Posté par
luzak
re : Determiner les entiers p ; arithémtique 11-12-16 à 16:26

Non :
10^{3q}\equiv(-1)^q\;[143].
Si 10^r\equiv a\;[143] alors 10^{3q+r}\equiv (-1)^qa\;[143]
Il te reste à chercher les trois valeurs de a (une pour r=0,une pour r=1,une pour r=2)

Posté par
7MK
re : Determiner les entiers p ; arithémtique 12-12-16 à 11:33

Pour r = 0 ; 10r 1 [143] et 103q+r (-1)q [143]

Pour r = 1 ; 10r 10 [143] et 103q+r   10×(-1)q [143]

Pour r = 2 ; 10r 100 [143] et 103q+r 100×(-1)q [143]

Je ne sais pas ce qu'on cherche à faire précisément, je suis perdu

Merci

Posté par
luzak
re : Determiner les entiers p ; arithémtique 12-12-16 à 12:37

Pour quelles valeurs de q,r as-tu un reste égal à 2 ?
C'est la question du problème.
Tu dois donc chercher aussi les restes de -10,\;-100 modulo 143

A moins que tu n'aies proposé un énoncé foireux, genre
10^{5p}+10^{3p}-2 \equiv0 [143]  au lieu de 10^{5p}+10^{3p-2} \equiv0 [143] ou encore autre chose.
Compares le bon énoncé avec ce que tu as écrit sur le forum !

Posté par
7MK
re : Determiner les entiers p ; arithémtique 13-12-16 à 21:26

Je viens de vérifier c'est bien ce que j'ai mis.

-10 133 [143] et -100 43 [143].

Posté par
luzak
re : Determiner les entiers p ; arithémtique 13-12-16 à 23:01

Donc tu n'as aucune solution, c'est bien pour cela que je pense à une erreur d'énoncé !

Posté par
7MK
re : Determiner les entiers p ; arithémtique 13-12-16 à 23:52

Ok merci pour votre aide

Posté par
lake
re : Determiner les entiers p ; arithémtique 14-12-16 à 00:39

Bonsoir,

p=0 est solution de l' équation 10^{5p}+10^{3p}-2=0 non ?

J' avais trouvé pour solution l' ensemble des multiples de 6.
Et j' ai bien l' impression que c' est juste.

Posté par
lake
re : Determiner les entiers p ; arithémtique 14-12-16 à 00:43

Plutôt:

p=0 est solution de l' équation 10^{5p}+10^{3p}-2\equiv 0\,\,[143]

Posté par
7MK
re : Determiner les entiers p ; arithémtique 14-12-16 à 18:19

Oui p = 0 est solution

Comment se servir de ça pour trouver le résultat ?

Merci

Posté par
lake
re : Determiner les entiers p ; arithémtique 14-12-16 à 18:51

10^0\equiv 1\,\,[143]

10^1\equiv 10\,\,[143]

10^2\equiv 100\,\,[143]

10^3\equiv -1\,\,[143]

10^4\equiv -10\,\,[143]

10^5\equiv -100\,\,[143]

10^6\equiv 1\,\,[143]

On en déduit que:

10^{6k}\equiv 1\,\,[143]

10^{6k+1}\equiv 10\,\,[143]

10^{6k+2}\equiv 100\,\,[143]

10^{6k+3}\equiv -1\,\,[143]

10^{6k+4}\equiv -10\,\,[143]

10^{6k+5}\equiv -100\,\,[143]

La seule possibilité pour que 10^x+10^y\equiv 2\,\,[143] est que x et y soient des multiples de 6

Donc 5p=6k et 3p=6k'

6 divise p d' après Gauss et réciproquement p multiple de 6 convient.

Posté par
7MK
re : Determiner les entiers p ; arithémtique 14-12-16 à 21:42

Ok merci lake, je pense avoir compris.

Posté par
lake
re : Determiner les entiers p ; arithémtique 14-12-16 à 22:12



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