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Déterminer les vecteurs propres d'une matrice carrée

Posté par
Deimisos
31-03-14 à 16:36

Bonjour,

J'aimerais savoir comment trouver les vecteurs propres d'une matrice à partir de ses valeurs propres.


Voici une matrice carrée, de dimension 3 :


4 1 -2
-6 0 3
8 2 4

Elle possède une seule valeur propre et c'est zéro.

J'ai donc 4 1 -2 | y1 |
         -6 0 3  | y2 | = 0
          8 2 4  | y3 |


On est sensé trouver un vecteur propre y = |1| comme cela mais je ne sais pas d'ou ça vient
                                                           |0|
                                                           |2|

Posté par
lafol Moderateur
re : Déterminer les vecteurs propres d'une matrice carrée 31-03-14 à 16:45

Bonjour
ça vient de la résolution du système, tiens !

Posté par
verdurin
re : Déterminer les vecteurs propres d'une matrice carrée 31-03-14 à 16:55

Bonjour,
j'imagine que la matrice est

\begin{pmatrix}4&1&-2\\-6&0&3\\8&2&-4\end{pmatrix} \text{ et non } \begin{pmatrix}4&1&-2\\-6&0&3\\8&2&4\end{pmatrix}

peux-tu vérifier ?

Posté par
DOMOREA
Déterminer les vecteurs propres d'une matrice carrée 31-03-14 à 16:58

Bonjour,
en effet le déterminant de ta matrice initiale n'étant pas nul, 0 ne pouvait-être valeur propre

Posté par
Deimisos
re : Déterminer les vecteurs propres d'une matrice carrée 31-03-14 à 18:07

Enfaite, ce que je souhaite moi, c'est comprendre comment on déterminer la dimension et les coordonnées des vecteurs propres...


Je résous (A - valeur propre * matrice identité * )vecteur y1,y2,y3 ...

C'est un système à trois inconnues et trois équations...

Et je dis que Y = y1,y2,y3 ... et si je peux par exemple avoir un truc de la forme y1(2,1,3) c'est une dimension 1 .... mais si je peux pas tout exprimer de cette manière mais que je suis obliger d'utiliser genre un second facteur : y1(1,2,0) + y3(0,0,1) là c'est de la dimension 2 ?

Et à partir de ça... De ces y1,y2,3... Je vais ensuite pouvoir diagonaliser A... !

Posté par
verdurin
re : Déterminer les vecteurs propres d'une matrice carrée 31-03-14 à 18:38

La dimension des vecteurs propres est fixée par l'espace dans le quel on se trouve.
Dans ton exemple les vecteurs propres sont de dimension 3.

On résout le système A.Y=kY où k est une valeur propre et Y un vecteur inconnu.

En ce qui concerne ton exemple, peux-tu vérifier l'énoncé ?

Si la correction que j'ai proposée est bonne, tu ne pourras pas diagonaliser A.

Posté par
lafol Moderateur
re : Déterminer les vecteurs propres d'une matrice carrée 31-03-14 à 21:46

quand tu dis "dimension des vecteurs propres", il faut lire "dimension des sous espaces propres", j'ai l'impression
mais pas mieux que les autres : tu as une erreur de signe dans ta matrice

Posté par
verdurin
re : Déterminer les vecteurs propres d'une matrice carrée 31-03-14 à 21:50

Citation :
quand tu dis "dimension des vecteurs propres", il faut lire "dimension des sous espaces propres", j'ai l'impression

Bon sang, mais c'est bien sur !

Salut lafol

Posté par
lafol Moderateur
re : Déterminer les vecteurs propres d'une matrice carrée 31-03-14 à 21:58

salut verdurin

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