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Niveau première
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Determiner une distance minimale

Posté par
tutur6000
16-11-11 à 11:14

Bonjour à tous,
Je galere depuis un bon moment sur mon dm sachant que je suis en premiere et que je n'ai pas encore vu les dérivés .
Je vous donne l'énoncé :

Dans un repère (O,I,J) orthonormé, on considère les points A(0;11) et M(x;y), M étant un point de la droite D d'équation y=x-1. L'objectif est de déterminer la distance AM minimale.
1. a.Exprimer la distance AM en fonction des coordonnées x et y de M.
   b.Justifier ensuite que AM=sqrt(2x²-24x+144)
2.A chaque nombre réel x correspond un inuque point M de la droite D et réciproquement, à chaque point de D est associé un unique réel x. L'objectif est donc maintenant d'étudier les variations de la fonction : f:x=sqrt(2x²-24x+144)
   a.Justifier que f(x) existe quel que soit le réel x.
   b.Etablir le tableau de variation de la fonction u définie sur R par : u:x=2x²-24x+144.
   c.En déduire les variations de f puis la valeur minimum de la distance AM.
3.Soit H le point M pour lequel la distance AM est minimale. Donner les coordonnées de H.
4.Montrer que (AH) et D sont perpendiculaires.


Je suis bloqué à partir de la question 2.c. si vous pouviez m'aider

Merci d'avance

Posté par
dhalte
re : Determiner une distance minimale 16-11-11 à 11:24

Citation :
b.Etablir le tableau de variation de la fonction u définie sur R par : u:x=2x²-24x+144


c.En déduire les variations de f puis la valeur minimum de la distance AM.

Je suis bloqué à partir de la question 2.c

tout simplement, f positive et croissante : sqrt(f) croissante
et inversement f positive et décroissante : sqrt(f) décroissante

si tu en veux la démonstration, je suis à ta disposition.

Posté par
tutur6000
re : Determiner une distance minimale 16-11-11 à 11:34

Citation :
si tu en veux la démonstration, je suis à ta disposition.


Je veux bien cela m'aidrai beaucoup pour la compréhension

Posté par
gaa
re : Determiner une distance minimale 16-11-11 à 11:36

Bonjour
si tu prends un point M(x;y) de la droite D,
tu sais calculer la distance entre A et M  (AB²=(xB-xA)²+(yB-yA)²
Ici
AM²=x²+(y-11)²
comme M est sur D tu remplaces y par x-1 et tu trouves la relation qui est demandée.
comme AM est racine de..., la fonction est définie quand l'élément sous le radical est positif
Dire que la fonction est toujours définie, signifie que le trinome sous le radical ne peut pas être égal à 0 car cela signifierait que l'équation ainsi obtenue a des racines (et par conséquent ne serait pas toujours positive.)
A toi de faire le calcul de delta.

u(x) est une parabole dont tu sais calculer le minimum (-b/2a)  
si tu n'as pas encore appris cette formule, tu écris
2x²-24x+144=2(x²-12x+77)=2[(x-6)²-36+77]=2[(x-6)²+41]
et tu vois que le minimum correspond à x=6 (somme de deux carrés et cette somme sera minipum quand le terme (x-6)² sera nul)
et tu as là tous les éléments pour calculer la valeur u correspondante donc les cordonnées de M
4) je ne comprends pas le but de la question , car tu as appris que le plus court chemin d'un point à une droite c'est la perpendiculaire (si tu prends tout autre point de D, tu obtiens l'hypoténuse d'un triangle rectangle qui est toujours plus grande que les côtés de l'angle droit)
sinon tu peux trouver l'équation de (AH) et montrer que son coefficient directeur est -1  (deux droites y=ax+b et y=a'x+b' sont perpendiculaires si aa'=-1)

Posté par
dhalte
re : Determiner une distance minimale 16-11-11 à 11:46

précisions pour gaa

notre impétrant précisait :
Je suis bloqué à partir de la question 2.c

et je pense que son exercice veut lui faire retrouver cette propriété euclidienne de la distance minimale à une droite, mais sous l'aspect de l'étude de fonctions. Astuce didactique classique.

à tutur6000 : tu me demandes une démonstration de
tout simplement, f positive et croissante : sqrt(f) croissante
et inversement f positive et décroissante : sqrt(f) décroissante

tu n'as pas peur


g(x)=\sqrt{f(x)}
taux d'accroissement
\frac{g(x+h)-g(x)}h = \frac{\sqrt{f(x)+h}-\sqrt{f(x)}}{h}

on multiplie le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée (à retenir) \sqrt{f(x+h)}+\sqrt{f(x)}
et simplification

\frac{g(x+h)-g(x)}h = \frac{(\sqrt{f(x)+h}-\sqrt{f(x)})(\sqrt{f(x+h)}+\sqrt{f(x)})}{h(\sqrt{f(x+h)}+\sqrt{f(x)})}


\frac{g(x+h)-g(x)}h = \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\frac1{\sqrt{f(x+h)}+\sqrt{f(x)}}

le facteur \frac1{\sqrt{f(x+h)}+\sqrt{f(x)}} est toujours positif
donc le signe de \frac{g(x+h)-g(x)}h est celui de  \frac{f(x+h)-f(x)}{h}

f(x) et g(x) ont les mêmes variations.

Posté par
dhalte
re : Determiner une distance minimale 16-11-11 à 11:48

correction d'erreurs typographiques

taux d'accroissement
\frac{g(x+h)-g(x)}h = \frac{\sqrt{f(x+h)}-\sqrt{f(x)}}{h}

on multiplie le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée (à retenir) \sqrt{f(x+h)}+\sqrt{f(x)}
et simplification

\frac{g(x+h)-g(x)}h = \frac{(\sqrt{f(x+h)}-\sqrt{f(x)})(\sqrt{f(x+h)}+\sqrt{f(x)})}{h(\sqrt{f(x+h)}+\sqrt{f(x)})}


\frac{g(x+h)-g(x)}h = \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\frac1{\sqrt{f(x+h)}+\sqrt{f(x)}}

le facteur \frac1{\sqrt{f(x+h)}+\sqrt{f(x)}} est toujours positif
donc le signe de \frac{g(x+h)-g(x)}h est celui de  \frac{f(x+h)-f(x)}{h}

f(x) et g(x) ont les mêmes variations.

Posté par
tutur6000
re : Determiner une distance minimale 16-11-11 à 16:19

D'accord mais je n'ai pas encore vu cela ^^ donc je dois faire comment pour un niveau début de première ? La solution de gaamais semble plutôt correcte.

Posté par
dhalte
re : Determiner une distance minimale 16-11-11 à 16:43

tu n'as pas vu les dérivées, tu n'as pas vu le taux d'accroissement, ou de variation, mais qu'est-ce que tu as vu ?

et parler de début de 1ère un 16 novembre, faudrait penser à faire la rentrée.

oui, le passage de gaa concernant la parabole peut t'aider.

et tu concluras en expliquant que la fonction racine carrée étant croissante, (l'as-tu vu ?), alors les variations de f sont les mêmes que celles de u

Posté par
tutur6000
re : Determiner une distance minimale 16-11-11 à 18:14

Et bien non ! Je n'ai ni vu les dérivés ni le taux d'accroissement depuis le début de l'année nous n'avons traiter que 3 chapitres =s :
-Le second degré
-Les vecteurs et les droites du plan
-Etude des fonctions
Et effectivement je viens juste de voir que la fonction sqrt(x) est toujours croissante sur l'intervalle [0;+infini.

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