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Déterminer valeurs de n pour que divisible

Posté par
Dcamd 08-03-09 à 12:03

Bonjour,

Je dois déterminer les valeurs de n telles que (X-1)n-Xn-1 est divisible par X2-X+1

Soit j la solution complexe de X2-X+1, et sa solution conjuguée \bar {j}

J'ai écris P=(X-j)(X-\bar {j})Q + cX + d

J'obtiens alors :

c = \frac{1}{\sqrt{3}i}(\bar {j}^n(1+(-1)n)- jn(1+(-1)n))

Pour le d j'ai du mal...

Est-ce la bonne manière ?

Merci par avance pour vos conseils et votre aide.

David

Posté par
raymond Correcteurre : Déterminer valeurs de n pour que divisible 08-03-09 à 12:07

Bonjour.

La lettre j est plutôt employée pour les solutions de X² + X + 1 = 0

Pour X² - X + 1 = 0, ce seront -j et son conjugué.

Tu peux exprimer simplement que 2$ -j et 2$ - \bar j sont racines de P.

Posté par
Dcamdre : Déterminer valeurs de n pour que divisible 08-03-09 à 12:13

Pourquoi -j ? Je ne vois pas ...
Et comment en déduire les valeurs de n ?

Posté par
raymond Correcteurre : Déterminer valeurs de n pour que divisible 08-03-09 à 12:17

Je t'ai expliqué pourquoi "-j", c'est une question de notation.

Tu as -j=e^{\fra{i\pi}{3}}

A mon avis tu devrais étudier les cas n = 3p, n = 3p+1, n = 3p+2

Posté par
Dcamdre : Déterminer valeurs de n pour que divisible 08-03-09 à 13:08

J'ai un peu de mal à dégager les solutions...
A différencier les cas...
Je trouve pour n = 0  -> -1
               n = 3 -> 1
Donc je suis un peu perdu

Posté par
raymond Correcteurre : Déterminer valeurs de n pour que divisible 08-03-09 à 14:09

J'ai fait une erreur de frappe :

3$ j=e^{\fra{2i\pi}{3}}

3$ -j=e^{\fra{-i\pi}{3}}

3$ j^2=e^{\fra{4i\pi}{3}}

3$ -j^2=e^{\fra{i\pi}{3}}

Tu as aussi la relation fondamentale 1 + j + j² = 0

Cela étant, j'ai calculé P(-j) en distinguant n = 3k, n = 3k +1, n = 3k + 2

Je ne trouve jamais 0.

Donc, (sauf erreur de calcul de ma part),

P(X) = (X - 1)n - Xn - 1 n'est pas divisible par X² - X + 1

Posté par
Dcamdre : Déterminer valeurs de n pour que divisible 08-03-09 à 14:31

D'accord Merci Raymond. Je vais réessayer de refaire les calculs et je posterais mes résultats. J'ai un peu de mal à distinguer les cas.

Posté par
raymond Correcteurre : Déterminer valeurs de n pour que divisible 08-03-09 à 16:24

Pense bien à utiliser la notation exponentielle pour exploiter les puissances.


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