Salut à tous,
J'ai un exercice sur le developpement p-adique mais je n'arrive pas à résoudre quelque question.
voila l'énoncé:
Dans tout l'exercice, p designe un entier naturel superieur ou égal à 2. Pour tout x appartenant [0, 1[, on
appelle developpement p-adique de x toute suite (an)n>=1 d'entiers naturels verifiant :
- n >=1, 0 <= an <= p − 1.
-la somme de k=1 jusqu'à n de   ak/pk   tend vers x lorsque n tend vers l'infini.

Soit x un réel de l'intervalle [0, 1[.

1. Soit E1 = {a 2 N, a/p <= x}. Montrer que E1 possède un plus grand élément a1 et que 0 <=a1 <= p−1.

2. On pose 1 = x − a1
p . Vérifier que 0 <= 1 < 1/p

3. On définit par récurrence une suite de réels (n)n>=1, une suite de parties de (En)n>=1 et une suite d'entiers (an)n>=1 :

- E1, 1 et a1 ont été définis à la question précédente.
- Pour tout n >= 1, supposant construits En, n et an, on pose En+1 = {a de , a/pn+1 <=n},

an+1 = maxEn+1 et n+1 = n − an+1/pn+1

Montrer :
(a) n >=1, 0 <= an <= p − 1.
(b) n >= 1, 0 <= n < 1/pn
4. Prouver que pour tout n >= 1 on a x = xn + n où xn =la somme de k=1 jusqu'à n de ak/pk

5. Prouver que la suite (an)n>=1 est un developpement p-adique de x. On admettra la propriete suivante
: Soient (un) et (vn) sont deux suites réelles telles que vn 0 lorsque n tend vers l'infini.
Soit l un nombre réel. Si, pour tout entier n assez grand, on a |un − l| <= vn, alors un l lorsque n tend vers l'infini.

6. Appliquer la m´ethode precedente pour trouver un developpement 3-adique de 5/8
(pour p c'est la puissance pour les autres c'est l'indice)
pour la première question j'ai pris le max =[x.p]=a1 mais pour l'inegalité je n'ai pas pu montrer que a1<=p-1pou la 2eme inegalité aussi et puisque je ne suis pas sûr du choix du max je n'ai pas pu faire la récurrence dans la question 3.j'ai fais 4) mais pour l'application je suis bloquée
si quelqu'un pourra m'aider je lui dit merci d'avance