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Devoir en Temps Libre!

Posté par koiskek (invité) 14-02-08 à 01:31

Et bien voila j'annonce mon problème!

j'ai étais malade durant la dernière semaine de cours, j'ai donc loupé les math alors qu'ils commençaient un tout nouveau chapitre, et me voila contrains de me coltiner un dm dont je ne comprend pas grand chose (malgré avoir relu mes cours etc..). Cela serait très sympa de votre part de m'indiquer non pas les solutions mais les méthodes . d'avance merci!

Résolution de triangles:

Dans tout le devoir on adopte les notations suivantes pour un triangle ABC non plat:
- AB=c AC=b BC=a ; on nomme S l'aire de ABC ; A' B' C' milieu des côtés, respectivement opposé à A, B et C ; Â est l'angle BÂC orienté positivement, pareil pour ^B et ^C.

Le théorème de la médiane:

1) montrer que dans le triangle ABC: b²+c²=2AA'²+1/2a².
2)Application: ABCD quadrilatère, I et J sont les milieux respectifs de [AC] et [BD].
   (a): A l'aide du théoréme de la mediane, appliqué judicieusement, montrer que:
       AB²+BC²+CD²+AD²=4IJ²+AC²+BD²
   (b): Euler affirmait que la somme des carrées des côtés d'un quadrilatère est supérieur ou égale à  somme des diagonales. Est-ce toujours vrai? peut on avoir égalité? dans quels situations?

(il y a d'autre choses après mais j'attends d'avoir vos réponses pour me débrouiller tout seul après..)

Posté par
homere
re: Devoir en Temps Libre! 14-02-08 à 07:40

bonjour,

La première question est la demonstration du théorème de la médiane.

(en vecteur ) AB2+AC2=(AA'+A'B)2+(AA'+A'C)2

AB2+AC2=AA'2+A'B2+2AA'.A'B+AA'2+A'C2+2AA'.A'C

AB2+AC2=2AA'+(BC/2)2+(BC/2)2+2AA'(A'B+A'C)

je crois que tu peux terminer sans moi

Posté par
homere
re: Devoir en Temps Libre! 14-02-08 à 07:55

Pour la question suivante

tu peux regrouper:  d'abord ( par exemple) AB2+AD2  et ensuite CB2+CD2   et chaque fois tu appliques le théorème de la médiane

Et dans ton résultat, tu devras encore appliquer ce même théorème.


Pour b/ tu as dû faire une erreur dans le texte : c'est "la somme des carrés des diagonales".

D'après la démontration précédente ,la somme des carrés des côtés est supérieur à la somme des carrés des diagonales puisque il y a en plus le terme 4IJ2
Il ne peut y avoir l'égalité que si IJ=0.
A toi de conclure.

Posté par
homere
re: Devoir en Temps Libre! 14-02-08 à 07:59


D'une manière générale la notation AB2 représente aussi bien le carré scalaire d'un vecteur  que le carré de sa norme (ou de sa longueur)

Posté par koiskek (invité)re : Devoir en Temps Libre! 16-02-08 à 20:35

merci beaucoup homere je teste tout cela immédiatement !

Posté par koiskek (invité)re : Devoir en Temps Libre! 16-02-08 à 23:37

n'aurais tu pas oublié un carré par hasard?


AB2+AC2=AA'2+A'B2+2AA'.A'B+AA'2+A'C2+2AA'.A'C

AB2+AC2=2AA'(ici?)+(BC/2)2+(BC/2)2+2AA'(A'B+A'C)

Posté par
homere
re : Devoir en Temps Libre 17-02-08 à 00:05

bonsoir,

Tu as raison. Dans le feu de l'action il y a des termes qui m'échappent...

J'espère que tu as fait l'autre question ?

Posté par koiskek (invité)re : Devoir en Temps Libre! 17-02-08 à 21:20

eh bien malheureusement je ne retombe pas sur la bonne égalité.
je m'explique:
à la fin je retombe sur:   b²+c²=2AA'²+a²   (Au lien de: b²+c²=2AA'²+(1/2a)²)
merci d'avance!!

Posté par
homere
re : Devoir en Temps Libre 17-02-08 à 23:13

bonsoir,

Je reprends l'expressoin où j'avais oublié le carré:


AB2+AC2=2AA'2+(BC/2)2+(BC/2)2+2AA'(A'B+A'C)

une première remarque:  A'B+A'C=0  (A' milieu de [BC] ) et remplaçons les segments par les lettres minuscules

c2+b2=2AA'2+(a/2)2+(a/2)2

c2+b2=2AA'2+a2/4+a2/4  et je pense que tu pourras terminer sans moi

Posté par
homere
re : Devoir en Temps Libre 17-02-08 à 23:22

Pour la question suivante ,je t'explique les differentes étapes  (tu dois faire les calculs tout seul)

Etape 1 : appliquer le théorème de la médiane au triangle ABD associé à la médiane AJ

Etape 2:  triangle DCB et la médiane CJ

Etape 3: triangle AJC et la médiane JI

Bon courage

Posté par koiskek (invité)re : Devoir en Temps Libre! 18-02-08 à 12:34

merci beaucoup j'attaque les autres questions!

Posté par koiskek (invité)re : Devoir en Temps Libre! 21-02-08 à 18:01

pfouh!

je suis encore bloqué, mon calcul est sans fin!

éclaire moi sur un truc s'il te plait, apres avoir apliqué le théoréme de la médiane, j'ai tout rassemblé en un calcul, doit-je appliqué la methode du "carrée scalaire"? pour aprés m'aider de la relation de chaal ?

merci d'avance pour ton soutien!

Posté par koiskek (invité)re : Devoir en Temps Libre! 21-02-08 à 18:03

chasles* pardon!

Posté par
homere
re : Devoir en Temps Libre 21-02-08 à 19:01

bonsoir,

Il est dommage que tu n'arrives pas à te débrouiller tout seul (surtout avec les indications que je te donne)


Triangle ABD    AD2+AB2=2AJ2+(1/2)DB2

Triangle DCB    CD2+CB2=2CJ2+(1/2)DB2

Ajoutons ces 2 relations membre à membre:

AD2+AB2+CD2+CB2=2(AJ2+CJ2)+DB2


Dans le triangle CJA   JA2+JC2=2JI2+(1/2)AC2

remplaçons dans l'equation précédente ,les termes se trouvant dans la parenthèse par les résultats de ce dernier calcul

AD2+AB2+CD2+AD2=2(2IJ2+1/2AC2)+DB2

En developpant ce résultat tu vas trouver la relation demandée..

Comme ce sont des carrés, il est clair que ,par exemple, BC2=CB2

Posté par koiskek (invité)re : Devoir en Temps Libre! 21-02-08 à 20:03

finalement j'ai réussit a m'en sortir sans ces indications!

je m'attaque à la suite de mon devoir merci pour tout! et bonne continuation!

Posté par
fusionfroide
re : Devoir en Temps Libre! 21-02-08 à 20:06

[faq]bontitre[/faq]

Merci

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