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Diagonalisation

Posté par
Stemba 29-11-08 à 17:57

Bonjour,

j'ai fait un exercice en détaillant un maximum mon développement(hormis le polynôme caractéristique trop long à faire en latex), mon professeur me reproche souvent dans mes copies que je ne rédige pas correctement.
Est ce bon et ma rédaction est t'elle correcte (pour un examen)?

Exercice 1

Soit A la matrice réel A=\begin{pmatrix} \\ 1&1&1&1 \\ \\ 1&1&-1&-1 \\ \\ 1&-1&1&-1 \\ \\ 1&-1&-1&1 \\ \end{pmatrix}
a) Montrer que A est diagonalisable et déterminer une matrice de passage permettant cette diagonalisation.
b)En déduire A², puis A^{-1}

a)Polynôme caractéristique: PA(T)=-(2-T)^{2}(T^{2}-4)=-(2-T)^{2}(T-2)(T+2)=-(2-T)^{3}(T+2)=(T-2)^{3}(T+2) (méthode de calcul dans l'ordre: c1<- c1+c2, l2<- l2-l1, c3<- c3-c2, l2<- l2+l3)

soit E2=ker(A-2I4) et \begin{pmatrix} \\ x&y&z&t \\ \end{pmatrix}E2 (A-2I4)\begin{pmatrix} \\ x \\ y \\ z \\ t \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \\ -1&1&1&1 \\ \\ 1&-1&-1&-1 \\ \\ 1&-1&-1&-1 \\ \\ 1&-1&-1&-1 \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \\ x \\ y \\ z \\ t \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix}

\left\{ \\ \begin{array}{ll} \\ -x+y+z+t=0(equa 1)\\ \\ x-y-z-t=0(equa 2)\\ \\ x-y-z-t=0(equa 3)\\ \\ x-y-z-t=0(equa 4)\\ \\ \end{array} \\ \right.
équa2=équa3=équa4=-équa1
on peut donc se ramener à une unique équation: -x+y+z+t=0x=-y-z-t
\begin{pmatrix} \\ x&y&z&t\\ \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \\ -y-z-t \\ y \\ z \\ t \\ \end{pmatrix}=y\begin{pmatrix} \\ -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix}+z\begin{pmatrix} \\ -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} \\ -1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix}

-y-z-t=0
y,z,t=0 donc ={1,2,3} avec 1=\begin{pmatrix} \\ -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix},2=\begin{pmatrix} \\ -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{pmatrix},3=\begin{pmatrix} \\ -1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix} forme une base de E2 et de 3 car 1,2,3 sont linéairement indépendant.

soit E-2=ker(A+2I4) et et \begin{pmatrix} \\ x \\ y \\ z \\ t \\ \end{pmatrix}E-2 (A-2I4)\begin{pmatrix} \\ x \\ y \\ z \\ t \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \\ 3&1&1&1 \\ \\ 1&3&-1&-1 \\ \\ 1&-1&3&-1 \\ \\ 1&-1&-1&3 \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \\ x \\ y \\ z \\ t \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix}

\left\{ \\ \begin{array}{ll} \\ 3x+y+z+t=0(equa 1)\\ \\ x+3y-z-t=0(equa 2)\\ \\ x-y+3z-t=0(equa 3)\\ \\ x-y-z+3t=0(equa 4)\\ \\ \end{array} \\ \right.
équa2<-équa2+equa1 :4x+4y=0 =>x=-y
équa4<-équa4+3équa3: 4x-4y+8z=0 =>8y=8z =>y=Z
équa1:-3y+y+y+t=0=>y=t
\begin{pmatrix} \\ x \\ y \\ z \\ t \\ \end{pmatrix}E2\begin{pmatrix} \\ x \\ y \\ z \\ t \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \\ -y \\ y \\ y \\ y \\ \end{pmatrix}=y\begin{pmatrix} \\ -1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{pmatrix}
={3} avec 3=\begin{pmatrix} \\ -1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{pmatrix} forme une base de E-2 et de
Conclusion: PA(T) est scindable dans [T]
-dim E2=3=m2(m2 multiplicité de la valeur propre 2)
-dim E-2=1=m-2(m-2 multiplicité de la valeur propre -2)
=> A est diagonalisable


soit p la matrice de passage de B=(e1,e2,e3,e4) vers B'=(1,2,3,4)


1=-e1+e2
2=-e1+e3
3=-e1+e4
4=-e1+e2+e3+e4

p=\begin{pmatrix} \\ -1&-1&-1&-1 \\ \\ 1&0&0&1 \\ \\ 0&1&0&1 \\ \\ 0&0&1&1 \\ \end{pmatrix}

det(P)=-2 (méthode de calcul: l2 <- l2+l1, l2 <- l2+l1) donc B' est une base de 4 et la matrice inversible existe.

b)
D=P^{-1}AP
D=\begin{pmatrix} \\ 2&0&0&0 \\ \\ 0&2&0&0 \\ \\ 0&0&2&0 \\ \\ 0&0&0&-2 \\ \end{pmatrix}

A=PDP^{-1}
A^{2}=PD^{2}P^{-1}

D^{2}=\begin{pmatrix} \\ 4&0&0&0 \\ \\ 0&4&0&0 \\ \\ 0&0&4&0 \\ \\ 0&0&0&4 \\ \end{pmatrix}

PD=\begin{pmatrix} \\ -1&-1&-1&-1 \\ \\ 1&0&0&1 \\ \\ 0&1&0&1 \\ \\ 0&0&1&1 \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \\ 4&0&0&0 \\ \\ 0&4&0&0 \\ \\ 0&0&4&0 \\ \\ 0&0&0&4 \\ \end{pmatrix}=4P

donc A^{2}=4PP^{-1}=4

A^{-1}=PD^{-1}P^{-1}

det D=256
D^{-1}=\frac{1}{256}\begin{pmatrix} \\ 64&0&0&0 \\ \\ 0&64&0&0 \\ \\ 0&0&64&0 \\ \\ 0&0&0&64 \\ \end{pmatrix}=\frac{1}{4}\begin{pmatrix} \\ 1&0&0&0 \\ \\ 0&1&0&0 \\ \\ 0&0&1&0 \\ \\ 0&0&0&1 \\ \end{pmatrix}

donc:
A^{-1}=\frac{1}{4} PP^{-1}
=\frac{1}{4}

Merci d'avance pour votre aide.

Posté par
lafol Moderateurre : Diagonalisation 29-11-08 à 18:50

Bonsoir

alors tout de suite deux trucs qui ne vont pas du tout, puis je reprends tes calculs pour vérifier : tu ne peux pas avoir A² = 4 ! le carré d'une matrice est une matrice, pas un nombre ... 4I serait plus vraisemblable. Pareil pour l'inverse de A.

de plus ton inverse de D est fausse. D étant diagonale, son inverse s'obtient en prenant les inverses des termes diagonaux. l'inverse de D est diag(0.5;0.5;0.5;-0.5)

Posté par
lafol Moderateurre : Diagonalisation 29-11-08 à 18:56

tu as une erreur de signe dans la recherche des vecteurs propres associés à 2 : ils ne sont pas propres du tout ! en fait x = y + z + t

Posté par
Stembare : Diagonalisation 29-11-08 à 19:12

"tu as une erreur de signe dans la recherche des vecteurs propres associés à 2 : ils ne sont pas propres du tout ! en fait x = y + z + t"
Ha oui:
on peut donc se ramener à une unique équation: -x+y+z+t=0x=y+z+t
\begin{pmatrix} \\ x&y&z&t\\ \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \\ y&z&t \\ y \\ z \\ t \\ \end{pmatrix}=y\begin{pmatrix} \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix}+z\begin{pmatrix} \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix}
1=e1+e2
2=e1+e3
3=e1+e4
4=e1+e2+e3+e4

p=\begin{pmatrix} \\ 1&1&1&1 \\ \\ 1&0&0&1 \\ \\ 0&1&0&1 \\ \\ 0&0&1&1 \\ \end{pmatrix}

Posté par
lafol Moderateurre : Diagonalisation 29-11-08 à 19:17

c'est la dernière colonne qui ne va plus, ce coup là !

Posté par
Stembare : Diagonalisation 29-11-08 à 19:18

PD^{2}=\begin{pmatrix} \\ 1&1&1&1 \\ \\ 1&0&0&1 \\ \\ 0&1&0&1 \\ \\ 0&0&1&1 \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \\ 4&0&0&0 \\ \\ 0&4&0&0 \\ \\ 0&0&4&0 \\ \\ 0&0&0&4 \\ \end{pmatrix}=4I4P \\ \\ donc A^{2}=4I4PP^{-1}=4I4=\begin{pmatrix} \\ 4&0&0&0 \\ \\ 0&4&0&0 \\ \\ 0&0&4&0 \\ \\ 0&0&0&4 \\ \end{pmatrix}
c'est sa?

Posté par
lafol Moderateurre : Diagonalisation 29-11-08 à 19:20

je me demande comment tu effectues tes produits de matrices .... dans le produit que tu annonces, j'aurais des 4 sur toute la première ligne .....

Posté par
lafol Moderateurre : Diagonalisation 29-11-08 à 19:20

attend, j'avais pas vu le P derrière I4

Posté par
Stembare : Diagonalisation 29-11-08 à 19:23

V4=-e1+e2+e3+e4
p=\begin{pmatrix} \\ 1&1&1&-1 \\ \\ 1&0&0&1 \\ \\ 0&1&0&1 \\ \\ 0&0&1&1 \\ \end{pmatrix}
Ha oui oups j'ai modifié V4 par inadvertance.

Posté par
Stembare : Diagonalisation 29-11-08 à 19:42

Ha j'ai prit D^{2} pour mon inverse....
Det(D)=-16
D^{-1}=-\frac{1}{16}\begin{pmatrix} \\ -8&0&0&0 \\ \\ 0&-8&0&0 \\ \\ 0&0&-8&0 \\ \\ 0&0&0&-8\\ \end{pmatrix}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} \\ 1&0&0&0 \\ \\ 0&1&0&0 \\ \\ 0&0&1&0 \\ \\ 0&0&0&1\\ \end{pmatrix} \\ \\ \\ PD^{-1}=\begin{pmatrix} \\ 1&1&1&-1 \\ \\ 1&0&0&1 \\ \\ 0&1&0&1 \\ \\ 0&0&1&1 \\ \end{pmatrix}\frac{1}{2}\begin{pmatrix} \\ 1&0&0&0 \\ \\ 0&1&0&0 \\ \\ 0&0&1&0 \\ \\ 0&0&0&1\\ \end{pmatrix}=\frac{1}{2}I4P \\ A^{-1}=\frac{1}{2}I4PP^{-1}=\frac{1}{2}I4=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} \\ 1&0&0&0 \\ \\ 0&1&0&0 \\ \\ 0&0&1&0 \\ \\ 0&0&0&1\\ \end{pmatrix} \\ \\
La c'est bon?

Posté par
bousselhamréponse 30-11-08 à 03:20

juste une petit remarque que la démonstration de ( la matrice est diagonalisable ) ne comporte pas boucoup de calcule juste remarquer que c'est une matrice symétrique. donc diagonalisable.

Posté par
Stembare : Diagonalisation 30-11-08 à 14:48

Merci Lafol et Bousselham pour l'aide.
oui je sait mais il me demande aussi la matrice de passage.
pour A^{-1} et A^{2} c'est bon maintenant et la rédaction est correcte?

Posté par
lafol Moderateurre : Diagonalisation 30-11-08 à 17:51

l'inverse de D est toujours fausse ! (je t'avais déjà donné la bonne, relis plus haut)

Posté par
Stembare : Diagonalisation 30-11-08 à 21:50

D^{-1}=-\frac{1}{16}\begin{pmatrix} \\ -8&0&0&0 \\ \\ 0&-8&0&0 \\ \\ 0&0&-8&0 \\ \\ 0&0&0&8\\ \end{pmatrix}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} \\ 1&0&0&0 \\ \\ 0&1&0&0 \\ \\ 0&0&1&0 \\ \\ 0&0&0&-1\\ \end{pmatrix} \\ \\ \\ \\
Ha oui, donc je peut pas faire comme A^{2}
la question dit en déduire, je suppose donc que calculer l'inverse puis faire PD^{-1}P^{-1} c'est pas le top
je sait que A^{2}=4I4
tu ma dit que:
"D étant diagonale, son inverse s'obtient en prenant les inverses des termes diagonaux"
donc A^{-2}=\frac{1}{4}I4A^{-1}A^{-1}=\frac{1}{4}I4
A A^{-1}A^{-1}=A \frac{1}{4}I4
A^{-1}=A \frac{1}{4}I4= \frac{1}{4}A
quand je multiplie par A je doit toujours le placer à gauche ou à droite, vu que avec les matrices (si non semblable) sa change tous?
est ce bon?

Posté par
lafol Moderateurre : Diagonalisation 30-11-08 à 23:08

Tu n'as pas besoin de faire tout ça !
de A² = 4I, tu déduis ((1/4)A).A = I, ce qui prouve bien que (1/4)A est l'inverse de A

Posté par
Stembare : Diagonalisation 30-11-08 à 23:21

Ha pour ma question, j'ai pas réfléchit, je le place comme je veux (droite ou gauche) tant que je fait pareil de l'autre coté.

Posté par
Stembare : Diagonalisation 30-11-08 à 23:27

oui en faite si j'ai bien comprit:
A^{2}=4I4 => I4=\frac{1}{4}A A => I4 A^{-1}=\frac{1}{4}A A A^{-1} => A^{-1}=\frac{1}{4}A
Merci pour ton aide.


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