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Divisibilité

Posté par
Amenemhat 28-08-15 à 18:06

Bonjour,

Je ne parviens pas à montrer que si a, b et n sont des entiers tels que b>a>n>2, alors n+1 divise \binom{b}{n}\times\binom{a}{n}\times(b-a).

Posté par
Amenemhatre : Divisibilité 28-08-15 à 18:09

... Merci d'avance pour votre aide

Posté par
verdurinre : Divisibilité 28-08-15 à 18:33

Bonsoir.
Si b>2n il est  immédiat que n+1 divise \binom{b}{n}.

Sinon

n+1 divise \binom{b}{n}\times\binom{a}{n}\times(b-a)=\frac{b(b-1)\dots(n+1)}{(b-n)!}\cdot\frac{a(a-1)\dots(n+1)}{(a-n)!}\cdot (a-b)

et on trouve n+1 termes consécutifs au numérateur.

C'est très incomplet, mais je compte sur toi pour boucher les trous.

Posté par
verdurinre : Divisibilité 28-08-15 à 18:36

Erreur de copie
Si b>2n il est  immédiat que n+1 divise \binom{b}{n}.

Sinon

\binom{b}{n}\times\binom{a}{n}\times(b-a)=\frac{b(b-1)\dots(n+1)}{(b-n)!}\cdot\frac{a(a-1)\dots(n+1)}{(a-n)!}\cdot (a-b)

et on trouve n+1 termes consécutifs au numérateur.

C'est très incomplet, mais je compte sur toi pour boucher les trous.

Posté par
vhamre : Divisibilité 28-08-15 à 19:10

bonsoir,

peut-être par récurrence en utilisant \binom{b}{n}=\binom{b-1}{n}+\binom{b-1}{n-1}

Posté par
flightre : Divisibilité 28-08-15 à 20:38

salut verdurin

dans ton développement de C(b,n)  n'a t on pas  C(b,n)= [b.(b-1).(b-2).....(b-n+1)] / n!   ?

je ne comprend pas pas pourquoi ton dernier terme au numerateur est n+1

Posté par
jandri Correcteurre : Divisibilité 28-08-15 à 21:33

Bonsoir,

Une autre méthode consiste à montrer:

\binom{b}{n}\times\binom{a}{n}\times(b-a)=(n+1)(\binom{a}{n}\times\binom{b}{n+1}-\binom{b}{n}\times\binom{a}{n+1}).

Posté par
vhamre : Divisibilité 28-08-15 à 23:50


Bravo jandri, bien vu :
\binom{b}{n}\times\binom{a}{n}\times(b-a)=\binom{b}{n}\times\binom{a}{n}\times((b-n)-(a+n))
et separément :
\binom{b}{n}\times(b-n)=(n+1)\binom{b}{n+1}
\binom{a}{n}\times(a-n)=(n+1)\binom{a}{n+1}...

Posté par
Amenemhatre : Divisibilité 29-08-15 à 09:04

Merci Jandri !

Posté par
alainpaulre : Divisibilité 29-08-15 à 10:41

Bonjour,

So very nice jandri!

Existerait-il une raison probabiliste simple?



Alain


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