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Division euclidienne - Polynôme

Posté par
Gologo
20-02-13 à 20:25

Bonjour,

En travaillant mon cours sur les polynômes, j'ai coincé au milieu de l'exercice suivant:

n 2, calculer le reste et le quotient de la division euclidienne dans R[X] de P(X) = (X-3)^{2n}+(X-2)^{n}-2 par (X-3)(X-2).

En posant P(X) = (X-3)(X-2)Q(X) + aX + b où (aX + b) est mon reste, je trouve aisément que le reste est égal à -1 (a = 0 et b = -1). Mais je sèche totalement sur comment déterminer le quotient.

Auriez-vous une piste, une petite astuce pour le déterminer?

D'avance merci.

Posté par
flight
re : Division euclidienne - Polynôme 21-02-13 à 00:20

si c'est Q que tu cherche en connaissant B =  -1

Q(X)= (P(X)-B)/(X-3)(X-2) tout simplement

Posté par
kybjm
re : Division euclidienne - Polynôme 21-02-13 à 00:40

Si tu poses  A = X - 2 et B = X - 3 , tu as :
...(X - 3)2n  = (X - 3)(A - 1)2n-1 = B(A - 1)2n-1 = B(AR - 1) où R [X] .
...(X - 2)n = (X - 2)(B + 1)n-1 = A(B + 1)n-1 = A(BS + 1) où S [X] .
Donc P = AB(R + S) - B + A - 2 .
Tu explicites R et S avec des ou des ....

Posté par
veleda
re : Division euclidienne - Polynôme 21-02-13 à 06:54

bonjour,
en utilisant le fait que le reste est indépendant de n on trouve une relation entre Q_{n+1}et Q_n
P_{n+1}(X)=(X-3)(X-2)Q_{n+1}(X)-1
 \\  P_n(X)=(X-3)(X-2)Q_n(X)-1
 \\ donc
 \\ P_{n+1}(X)-P_n(X)=(X-3)(X-2)(Q_{n+1}(X)-Q_n(X))
d'où
Q_{n+1}(X)-Q_n(X)=(X-3)^{2n-1}(X-4)+(X-2)^{n-1}
 \\ Q_n(X)- Q_{n-1}(X)=(X-3)^{2n-3}(X-4)+(X-2)^{n-2}
 \\ .............................................
 \\ 
 \\  Q_3(X)- Q_2(X) = (X-3)^3(X-4)+(X-2)

Posté par
Gologo
re : Division euclidienne - Polynôme 21-02-13 à 13:43

Tout d'abord merci pour vos réponses !

J'y vois déjà un peu plus clairement. Mais pour obtenir Q(X) (quelle que soit la solution que vous me proposez), je suis obligé de diviser par un polynôme et donc Q(X) n'est plus un polynôme; je me trompe?

Posté par
lafol Moderateur
re : Division euclidienne - Polynôme 21-02-13 à 14:30

Bonjour
quand on divise un polynôme par un polynôme, on peut très bien obtenir un polynôme, suffit que le reste soit nul ....

Posté par
Gologo
re : Division euclidienne - Polynôme 21-02-13 à 18:44

En effet ...

Pour reprendre l'idée de Veleda, je n'arrive pas à aller au bout du raisonnement et à expliciter Q(X), pourriez-vous m'aider s'il vous plait?

Posté par
veleda
re : Division euclidienne - Polynôme 21-02-13 à 19:19

on a
Q_n(x)-Q_{n-1}(x)=(X-3)^{2n-1}(X-4)+(X-2)^{n-1}=B_n(X)
je note B_(X) le membre de droite pour alléger l'écriture
Q_{n-1}(X)-Q_{n-2}(X)=B_{n-1}(X)
 \\ .......................................
 \\ .......................................
 \\ Q_3(X)-Q_2(X)=B_2(X)
en ajoutant membre à membre les égalités dans le membre de gauche d'aprés le principe des dominos il ne reste que deux termes
Q_n(X)-Q_2(X)=\sum_{k=2}^nB_k(X)
 \\ Q_n(X)=Q_2(X)+\sum_{k=2}^n[(X-3)^{2k-1}(X-4) +(X-2)^{k-1}]
sauf étourderie
il reste à calculer Q_2(X) et la somme du membre de droite

Posté par
alainpaul
re : Division euclidienne - Polynôme 21-02-13 à 19:36

Bonsoir,


Une fois le reste connu,il est facile de donner
une expression de Q(x), pour x <> 2 et x <> 3, sous forme quotient ,



Alain

Posté par
Gologo
re : Division euclidienne - Polynôme 21-02-13 à 22:04

Merci donc j'ai, sauf erreur de ma part:

Q_{n}(X)=Q_{2}(X) + \sum^{n}_{k=2}[(X-3)^{2k-1}(X-4)+(X-2)^{k-1}

Q_{n}(X)=Q_{2}(X) + (X-4)\sum^{n}_{k=2}(X-3)^{2k-1} + \sum^{n}_{k=2}(X-2)^{k-1}

Q_{n}(X)=Q_{2}(X) + (X-4)\sum^{n}_{k=1}((X-3)^{2})^{k} + \sum^{n}_{k=1}(X-2)^{k}

Q_{n}(X)=Q_{2}(X) + (X-4)\frac{(X-3)^{2}-(X-3)^{2n+2}}{1-(X-3)^{2}} + \frac{(X-2)-(X-2)^{n+1}}{1-(X-2)}

et là je suis perdu: pour calculer Q_{2}(X), il faut que j'ai l'expression de Q_{n}(X) non? Et l'autre partie du membre ne semble pas bien se simplifier ... :/

Posté par
veleda
re : Division euclidienne - Polynôme 21-02-13 à 23:14

*Q2c'est le quotient dans la division de P_2(X)=(X-3)^4+(X-2)^2-2 par(X-3)(X-2)
ou bien tu développes P_2et tu poses la division par (X-3)(X-2)
ou bien tu essaies de factoriser P_2(X)-(-1)
P_2(X)+1=(X-3)^4+(X-2)^2-1
 \\ (X-2)^2-1=(X-3)(X-1)
 \\ P_2(X)-1=(X-3)[(X-3)^3+(X-1)]=(X-3)[((X-2)-1)^3+(X-1)]=..
il faut encore mettre (X-2)en facteur
je trouve Q_2(X)=X2-7X+14  mais je n'ai pas vérifié

*je ne comprends pas ton avant dernière ligne k varie de 2 à n si tu poses K=k-1 alors K varie de 1 à n-1 de plus l'exposant 2k-1 devient 2K+1 K variant de 1 à n-1
non cela n'a pas l'air de se simplifier garde l'expression avec les deux sommes

Posté par
alainpaul
re : Division euclidienne - Polynôme 22-02-13 à 09:13

Bonjour,

Comme le précisait Flight :

Q(x)=\frac{(x-3)^{2n}+(x-2)^n-1}{(x-3)(x-2)},


Il n'y a pas ici de problème de division par zéro,
Q(x) est un polynôme de degré 2n-2,



Alain

Posté par
Gologo
re : Division euclidienne - Polynôme 22-02-13 à 09:42

Merci beaucoup pour vos réponses.

Je trouve bien: Q_{2}=X^{2}-7X+14 en développant puis en effectuant la division euclidienne de P_{2}(X) par (X-3)(X-2).

Je me suis en effet trompé lors du changement d'indice. Puis-je donc conclure que:

Q_{n}(X) = X^{2}-7X+14 + (X-4)\sum^{n-1}_{K=1} ... + \sum^{n-1}_{k=1} ... ? Car je ne vois pas comment simplifier l'expression ...

Pour Alainpaul et Flight, au tableau, j'avais également immédiatement fait ceci, mais ma prof m'a dit que c'était impossible  ... c'est la raison pour laquelle j'ai demandé de l'aide.

Posté par
frenicle
re : Division euclidienne - Polynôme 22-02-13 à 10:09

Bonjour,

Il s'agit donc de trouver Q(x)=\dfrac{(x-3)^{2n}+(x-2)^n-1}{(x-3)(x-2)}.

Posons y=x-2

Q(y+2)=\dfrac{(y-1)^{2n}+y^n-1}{(y-1)y}=\dfrac{1}{y}[(y-1)^{2n-1}+\dfrac{y^n-1}{y-1}]=
=\dfrac{1}{y}[\sum_{k=0}^{2n-1} \binom{2n-1}{k} (-1)^{2n-1-k}y^k+\sum_{k=0}^{n-1}y^k]

Comme le terme constant est nul, on peut commencer les sommes à k=1 et diviser par y :

Q(y+2)=\sum_{k=1}^{2n-1}\binom{2n-1}{k}(-1)^{k-1}y^{k-1}+\sum_{k=1}^{n-1}y^{k-1}

On revient à x :


Q(x)=\sum_{k=1}^{2n-1}\binom{2n-1}{k}(2-x)^{k-1}+\sum_{k=1}^{n-1}(x-2)^{k-1}

Posté par
alainpaul
re : Division euclidienne - Polynôme 22-02-13 à 13:41

Bravo l'ami!


Ce n'est quand même pas trop simple à
mettre en oeuvre,



Alain

Posté par
veleda
re : Division euclidienne - Polynôme 22-02-13 à 15:13

>>bonjour frenicle
c'est plus joli mais je n'ai pas le courage de torturer l'expression trouvée avec Gologo pour voir si c'est bien la même chose

Posté par
carpediem
re : Division euclidienne - Polynôme 22-02-13 à 16:50

salut

P(x) = [(x - 3)2]n - 1 + (x - 2)n - 1 = [(x - 3)2 - 1]0n-1 (x - 3)2k + (x - 2 - 1)0n-1 (x - 2)k = (x - 2)(x - 4)[1 + (x - 3)20n-2 (x - 3)2k ] + (x - 3)[ 1 + (x - 2)0n-2 (x - 2)k ] = (x - 2)(x - 4) + x - 3 + (x - 2)(x - 3)[(x - 3)(x - 4) (x - 3)2k + (x - 2)k ] = (x - 2)(x - 3) - 1 + (x - 2)(x - 3)[ ... ] = (x - 2)(x - 3) [ 1 + ... ] - 1

est la division euclidienne du polynome P par (x - 2)(x - 3)

....

Posté par
carpediem
re : Division euclidienne - Polynôme 22-02-13 à 16:51

an - 1n = ....

Posté par
frenicle
re : Division euclidienne - Polynôme 22-02-13 à 19:27

> veleda

Citation :
je n'ai pas le courage de torturer l'expression trouvée avec Gologo


Pour être franc, moi non plus

en plus, je suis contre la torture

Posté par
Gologo
re : Division euclidienne - Polynôme 22-02-13 à 23:56

Je vous remercie pour vos réponses: j'ai bien compris les différentes méthodes et je vais vérifier de mon côté si les résultats concordent.

Encore merci !

Posté par
veleda
re : Division euclidienne - Polynôme 23-02-13 à 00:13

>>Gologo
en reprenant l'expression trouvée je constate  un décalage d'indice (désoléeon a utilisé au départ Q_{n+1}-Q_n au lieu de Q_n-Q_{n-1=
Q_n(X)=Q_2(X)+\sum_{k=2}^n(X-3)^{2k-3}(X-4)+\sum_{k=2}^n(X-2)^{k-2}

Posté par
veleda
re : Division euclidienne - Polynôme 23-02-13 à 06:55

Q_n(X)=Q_2(X)+\sum_{k=3}^n(X-3)^{2n-3}(X-4)+\sum_{k=3}^n(X-2)^{n-2} pour    n3

Posté par
veleda
re : Division euclidienne - Polynôme 23-02-13 à 07:05


Q_n(X)=Q_2(X)+\sum_{k=3}^n(X-3)^{2k-3}(X-4)+\sum_{k=3}^n(X-2)^{k-2} pour n3
j'espère qu'il n'y a plus de faute de frappe ni d'indice

Posté par
Gologo
re : Division euclidienne - Polynôme 23-02-13 à 10:36

En effet, et je n'aboutissais par ailleurs pas au même résultat en triturant l'expression.

Encore merci, je vais reprendre la comparaison avec la nouvelle expression.

Merci !

Posté par
carpediem
re : Division euclidienne - Polynôme 23-02-13 à 11:19


 \\ P(x) = (x - 3)^{2}^{n} - 1 + (x - 2)^{n} - 1 = [(x - 3)^{2} - 1]\sum_{k=0}^{n - 1} (x - 3)^{2k} + (x - 2 - 1)\sum_{k=0}^{n - 1} (x - 2)^{k} =
 \\ 
 \\ (x - 2)(x - 4)[1 + (x - 3)^{2}\sum_{k=0}^{n-2} (x - 3)^{2k} ] + (x - 3)[1 + (x - 2)\sum_{k=0}^{n-2} (x - 2)^{k} ] =
 \\ 
 \\ (x - 2)(x - 4) + x - 3 + (x - 2)(x - 4)(x - 3)^{2}\sum (x - 3)^{2k} + (x - 3)(x - 2)\sum (x - 2)^{k} =
 \\ 
 \\ (x - 2)(x - 3) - 1 + (x - 2)(x - 3) [ (x - 4)(x - 3)\sum (x - 3)^{2k} + \sum (x - 2)^{k} ] = 
 \\ 
 \\ (x - 2)(x - 3) [ 1 + (x - 3)(x - 4)\sum(x - 3)^{2k} + \sum (x - 2)^{k} ] - 1
 \\ 
 \\

est la division euclidienne de P par (x - 2)(x - 3) ...

ce me semble-t-il on trouve la même chose ...

Posté par
veleda
re : Division euclidienne - Polynôme 23-02-13 à 12:15

bonjour,
oui il me semble que c'est bien la même expression

Posté par
alainpaul
re : Division euclidienne - Polynôme 23-02-13 à 13:16

Oui,



Je trouve:
Q_n(x)=\frac{((x-3)(x-2)-(x-2)+1)^n+(x-2)^n-1}{(x-3)(x-2)}
Q1(x)=1 ,Q2(x) =


Alain

Posté par
Gologo
re : Division euclidienne - Polynôme 23-02-13 à 13:35

Je trouve de mon côté le même résultat,

Merci à vous.

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